tema números reales

Números Reales

Con los números racionales son posibles las operaciones racionales; pero no lo son, en todos los casos, la radicación y la logaritmación. Para hacer posible estas operaciones se hizo necesaria la introducción de una nueva clase de números: los números irracionales, que constituyen, con los números racionales, el conjunto de números reales.
La introducción de los números reales significa una etapa importante en el desarrollo de la matemática, tanto pura como aplicada, por cuanto además de resolver (parcialmente) aquel problema aritmético, esas números permiten:

A) establecer una correspondencia biunivoca entre los números (reales) y los puntos de una recta, correspondencia que no puede establecerse con el conjunto de los números racionales, pues aun cuando existen números racionales tan próximos como se desee, existen siempre sobre la recta puntos que no corresponden a números racionales.
B) Resolver el problema a la medida de las magnitudes lineales (magnitudes cuya cantidad pueden ordenarse de menor a mayor). Tampoco este problema puede ser resuelto teóricamente con los números racionales, aunque prácticamente por ser todas las medidas aproximadas, los números decimales permiten medir aproximadamente todas las cantidades.

Expresiones Decimales: Todo numero irracional puede representarse mediante una extensión decimal de infinitas cifras p.ej.:

ℵ=03,14159665…; e=2,7182818284…

La diferencia esencial con la expresión decimal de los números racionales es
Que en el caso de los irracionales la expresión decimal carece de ley. Si se agrega que los números decimales, y sólo éstos, pueden representarse mediante dos extensiones decimales con infinitas cifras, resulta el teorema general: Todo número real admite, por lo menos, una extensión decimal con infinitas cifras.

Son las primeras cigras de estas expresiones las que se utilizan en la practica cuando se sustituye un número real por su valor decimal aproximado.

EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMIZACIÓN. En el campo de los números reales se definen la igualdad, la desigualdad y las operaciones racionales. Es en este campo donde la potenciación y la logaritmación adquieren interés. En efecto entre los números reales queda definida la potenciación de base positiva y exponente real, operación que da lugar a una de las funciones más importantes de la matemática: la función exponencial con la cual va unido uno de los números más frecuentes en la matemáticas y en sus aplicaciones: el número e.

Con la introducción de la exponencación ya no existen dos operaciones inversas de la potenciación: radicación y logaritmación, como ocurre en el campo de los números racionales. En efecto, si de la expresión ar =b y el exponente r, la determinación de la base a no exige, una nueva operación, sino la misma exponenciación, pues a=b½, es decir, que la base desconocida es la potencia cuya base es la potencia conocida y cuyo exponente es el reciproco del exponente conocido. De ahí que la única operación inversa nueva es la logaritmación, que permite calcular el exponente r cuando se conoce la potencia b y la base a. Ese exponente está dado por r=loga b.
Así como en el campo real la exponenciación sólo tiene sentido para base positiva, la logaritmación sólo es posible cuando la base es positiva y distinta de uno, y el antilogaritmo positivo.
En resumen: en el campo de los números reales siguen sin significado la radicación de índice par y radicado negativi, la exponencial de base negativa, los logaritmos de números negativos, etc.
EXPRESIONES IRRACIONALES. La circunstancia de que la gran mayoría de las raíces de números reales son irracionales, justifica las designaciones de expresión irracional, función irracional, etc, en los casos en que se presentan raíces.

Cuando se tiene una fracción cuyo denominador es una expresión irracional, se puede siempre convertir esa fracción en otra equivalente, pero de denominador racional (es decir, sin raíces). Esta transformación se denomina racionalización de denominadores.

LOS NUMEROS REALES Y EL ALGEBRA. Si se considera que los números negativos no se presentan sistemáticamente hasta el s XVII y que los números irracionales constituyeron desde la antigüedad un grave escollo en el desarrollo de la aritmética, escollo que sólo fue salvado a mediados del s. XIX, se explica que la introducción del número real signifique una etapa muy avanzada de la aritmética, vinculada con los progresos del algebra y hasta del análisis infinitesimal. Esta circunstancia justifica que muchos textos y tratados de números negativos, los irracionales y por supuesto, los números imaginarios, se excluyan de la aritmética y se incluyan en cambio en el álgebra.

Pero concebida la aritmética como ciencia de los números, y éstos como entes abstractos que obedecen a ciertas leyes formales (relaciones y operaciones), no cabe la distinción, sin duda importante desde el punto de vista didáctico, de números positivos y negativos, de números racionales e irracionales, de números reales e imaginarios; mientras que, en cambio, la consideración del número complejo como clase más general de número que estudia la aritmetica, confiere a esta ciencia unidad y armonía.

Fuente: Diccionario Enciclopédico Quillet Tomo 1 Página 442 – 443. Números Reales