esquema 2 números reales

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NUMEROS REALES
Esquema
1).- Las relaciones de Orden de los Números Reales
• Conceptos
• Ejemplos
• Ejercicios
• Gráficos
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
7).- Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
10).- Intervalos Reales
Desarrollo
1).- Las Relaciones de Orden en los Números Reales
• Definición:
Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda.
Relaciones ", " en R.
Consideremos los números reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces.
"3 " 1,732 y "2 " 1,414
1,732 > 1,414
"3 > "2
Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.
Si a < b, entonces b - a > 0
Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.
Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)
Intervalo abierto (a,b) Intervalo cerrado [a,b] Intervalo abierto a la derecha [a,b) Intervalo abierto a la izquierda (a,b]
% %
a b % %
a b % %
a b % %
a b
El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b.
El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b.
Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b.
De la recta numérica se puede deducir que:
• Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo
• Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo.
Orden en los números Reales
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
• a > b
• a < b
• a = b
Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.
• Ejemplos:
Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.
Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centesimas.
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales:
-5/3= -1,67 "5/2= 1,12
Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:
8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3
Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo <. Si hay números que no están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal y luego se comparan y ordenan.
Por ejemplo, para ordenar en forma creciente los números 1/3; -1,3; -"3; 3,1; 2"2; 0,015, primero se escriben los números en forma decimal aproximados, por ejemplo, a las décimas: 1/3 = 0,3 -"3 = -1,7 2"2= 2,8
Luego se ordenan de menor a mayor:
11,7 < -1,3 < 0,015 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y se reemplazan los valores. Resulta: -"3 < -1,3 < 0,015 < 1/3 < 2"2 < 3,1
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
Verifiquemos que la relación mayor o igual que es una relacion de orden total, para ello, comprobaremos que se cumplen las propiedades reflexiva, antisimetrica, transitiva y dicotómica.
Propiedad Reflexiva:
Si a es un numero real, se cumple que a " a; entonces se dice que la relación " cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo: "5 " "5 ya que "5 = "5
Propiedad Transitiva:
Si a, b y c pertenecen a los números reales, si a " b y b " c, luego la relacion " cumple la propiedad transitiva.
Ejemplo: "7 " "3 y "3 " "2 = "7 " "2
Propiedad Antisimétrica:
Si a y b son números reales y a " b, no es posible que se dé la relación b " a. entonces decimos que la relación que cumple es la propiedad antisimetrica.
Ejemplo: "8 " "6 = "6 " "8
Propiedad de Dicotomía:
Si a y b son dos números reales, se cumple que a " b ó b " a. Luego la relación " cumple con la propiedad de dicotomía.
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
La distancia entre 0 y +a es igual a la distancia entre 0 y -a. Esta distancia se llama valor absoluto y se representa |a|
|a| se lee: valor absoluto de a.
-a 0 +a
|+a| = valor absoluto de +a
|-a | = valor absoluto de - a
Grafico de la función Valor Absoluto en R
La grafica de la función valor absoluto se compone de dos rectas. Primero se representará la función valor absoluto para valores de x " 0.
Si x " 0 entonces f(x) = x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales les aparecen en la siguiente tabla:
X 0 1 2
Y 0 1 2
La grafica de esta recta estara situada en el primer cuadrante (x > 0, y > 0)
Si x < 0 entonces f(x) = - x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = - x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales aparecen en la siguiente tabla:
x -1 -2
y 1 2
La grafica de esta recta estará ubicada en el segundo cuadrante x <0,y>0. luego la grafica de la función valor absoluto viene dada por la unión de las dos rectas.
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
A continuación se aplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c
Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5.
De acuerdo con las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones:
• 3x+2=5
3x= 3
x=1
• 3x+2=-5
3x=-7
x=-7/3
La ecuación tiene dos soluciones. Si se sustituye cada solución en la ecuación original, se debe cumplir la igualdad.
• Para x=1
|3x+2|=5
|3 . 1+2|=5 |3 +2|=5
|5|=5
• Para x=-7/3
|3x+2|=5
|3 . (-7/3)+2|=5 |-7+2|=5
|-5|=5
“En resumen, al resolver una ecuación de la forma |ax+b|=c, hallamos el valor de x en ax+b=c y en -(ax+b)=c donde a, b, c R.”
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
La recta R sobre la cual representamos los números racionales e irracionales se llama Recta Real. Dado un punto P cualquiera en la recta, al numero real a lo llamamos coordenada o abcisa de P y lo denotamos por P(a), que se lee: punto de coordenada a.
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
A cada punto de una recta real se le coloca un único número real llamado coordenada o abcisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le coloca un unico numero para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada numero sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina sistema de coordenadas en la recta, y una recta con un sistema de coordenadas se llama recta real.
• Si se usa una letra mayúscula para denotar un punto de una recta se usará su correspondiente letra minúscula para denotar su coordenada, asi A(a) se lee”A de a” y denota que el numero real a es coordenada del punto A.
• Al numero real cero le corresponde el punto o y se llama punto de origen.
• Al numero real uno le corresponde el punto u y se llama punto de unidad.
7).- Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
En una recta real, dados los puntos A y B tales que sus coordenadas sean los números reales a y b, respectivamente, se tiene que la distancia entre esos puntos es la diferencia entre el numero mayor y el numero menor, o sea, el numero a - b o b - a, dependiendo de cual de los números sea mayor o menor.
“Si R es un punto de abcisa a, y Q es un punto de abcisa b, la distancia entre R y Q es igual al valor absoluto de la diferencia de las abcisas o coordenadas d(R,Q) = |b-a|”
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
La coordenada m del punto medio M del segmento de extremos A(a) y B(b) está dada mediante m=a+b/2. ¿Por qué?
Veamos, si M(m) es el punto medio, entonces d(AM) = d(MB), y se cumple que m - a = b - m. Al sumar a ambos miembros m+a se tiene que 2m=a+b, y al dividir entre 2 se obtiene que m=a+b/2.
Por ejemplo, sobre la recta real, ¿Cuál es la coordenada del punto medio M segmento AB tal que A(2) y B(10)?
Ya que M es el punto medio del segmento AB, su coordenada m debe ser la media aritmética, es decir, m=2+10/2=6.
Ejemplos:
• ¿Cuál es la distancia del punto A(-3) al origen de coordenadas?
La respuesta es 3 porque la distancia de un punto cualquiera de la recta real al origen de coordenadas es su coordenada carente de signo, es decir, el valor absoluto de su coordenada.
• Dados los puntos A(-3), B(6) y C(7). ¿Cuál de ellos está mas lejos del origen de coordenadas? ¿y cual está Mas cerca?
Un punto está mas lejos de otro si su distancia es mayor que la otra y está mas cerca si su distancia es menor. Se tiene en este caso que
d(OA)=|0-(-3)|=3, d(OB)= |0-6| y d(OC)= |0-7|=7. por ende, el punto C es el que esta mas cercano.
• Dados los puntos A(-3), B(0), C(4) y O(12), ¿Cuál de los tres puntos restantes está mas alejado del punto B? ¿y cual esta mas cercano a el?
Las distancias de los puntos a B son d(AB)=|0-(-3)|=3, d(BC)=|4-0|=4 y d(BP)= |12-0|=12. por lo tanto, el punto mas alejado es el punto Py el punto mas cercano es A.
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
Distancia positiva:
Calculemos la distancia d(A,B) dados los puntos A y B de la recta !, de coordenadas 2 y 6 respectivamente.
La distancia (d) entre 2 y 6 es 4, independientemente de que se mida de derecha a izquierda o viceversa.
La distancia entre 2 puntos de una recta es siempre un numero positivo; es decir, d(A, B) " 0.
Distancia cero en puntos coincidentes:
Al calcular la distancia entre los puntos R de coordenada 5 y Q de coordenada 5, observamos que la distancia es igual a Cero.
La distancia entre dos puntos es cero, si y solo si dichos puntos coinciden; es decir, d(Q, R)= 0 Q = R
Desigualdad triangular:
Dados los puntos P, Q, R pertenecientes a la recta r, cuando R es mayor que P y Q, siempre se cumplirá lo siguiente:
d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)
Cuando R está entre P y Q, siempre se cumplirá que:
d(P, R) < d(P, Q) + d(Q, R)
Dados tres puntos A, B, C sobre la recta real, se cumple que:
d(A, B) " d(A, C) + d(C,B)
10).- Intervalos Reales
Los números que están ordenados en forma creciente o decreciente pueden agruparse en conjuntos. En el caso de los números reales se hace necesario crear subconjuntos que llamaremos intervalos, los cuales pueden agruparse de varias formas.
Tipos de intervalos reales:
• Intervalo cerrado
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo cerrado de extremos a y b está formado por todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores que b, con a y b incluidos; lo denotamos asi: [a,b].
[a,b] = {x R a " x " b}
• Intervalo abierto
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo abierto de extremos a,b está formado por todos los números reales que son mayores que a y menores que b, sin incluir ni a ni b, y lo denotamos así: (a,b)
(a,b) = {x R a < x < b}
• Intervalo semiabierto a la izquierda
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a,b está formado por todos los números reales mayores que y menores e iguales que b; es decir, excluye a a e incluye a b. este intervalo se denota (a,b]
(a,b] = {x R a < x " b}
• Intervalo semiabierto a la derecha
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo a la derecha de extremos a,b esta formado por todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b, es decir, incluye a a y excluye a b. este intervalo se denota [a,b).
[a,b) = {x R a " x < b}
• Intervalo al infinito
Dada la recta ! y el número a, consideremos el conjunto de los números reales mayores o iguales que a. Al representar en la recta observamos que todos los números reales a la derecha de a pertenecen a este intervalo, por ello no podemos representarlo mediante un segmento. Representamos mediante una semirrecta de origen a y extremo infinito. Este intervalo se denota [a + °°)
a) [a , °°) = {x R x " a}
b) (a , + °°) = {x R x > a}
c) (-°°, a) = {x R x " a}
d) (-°°, a) = {x R x < a}
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Matemática - Números Reales
Contenido
Apunte de Números Reales: Construcción a partir de reales de los números complejos. Multiplicación de números complejos. Formula De Moivre. Proceso diagonal de Cantor. Módulo.
Construcción a partir de R de los números complejos (C)
¿Por qué esta nueva extensión? El polinomio x - 3 tiene raíz en N (el 3), pero x + 3 no. Si la tiene en Z (el -3). El polinomio 2x-3 no tiene raíz en Z pero si en Q (el -3/2). El polinomio x ²-2 no tiene raíces en Q, pero sí en R (el ± √2). El polinomio x ²+2 no tiene raíces en R (∀a ∈ R, a ² > 0, puesto que a < 0 ==>a·a > a·0 ==> a ² > 0 y si a > 0 ==>a·a > 0·a ==> a ² > 0). Este el fallo de R.
En la nueva extensión del concepto de número que vamos a hacer (números complejos) se verifica el siguiente teorema fundamental del álgebra.
Todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en C.
Esta última extensión del conjunto de números halla aquella ganancia (TFA) pero también una pérdida importante, la del orden.
El cuerpo de los números complejos es simplemente el conjunto R x R de pares ordenados de números reales, dotado de las operaciones:
Adición: (a, b) + (c, d) = (a+b, c+d)
Multiplicación: (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
La adición es asociativa, conmutativa, con neutro y opuesto.
Asociativa
(a,b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (c+e, d+f) = (a+c+e, b+d+f) = (a+c, b+d) + (e, f) = [(a, b) + (c, d)] + (e, f)
Conmutativa:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) =(c, d) + (a,b)
Neutro:
(a, b) + (0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b)
Opuesto:
(a, b) + (-a, -b) = (a-a, b-b) = (0, 0)
La multiplicación es asociativa, conmutativa, con unidad e inverso.
Asociativa:
(a,b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) (ce - df, cf + de) = (ac - bd, ad + bc) (e, f) = [(a, b) (c, d)] (e, f)
Conmutativa:
(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Con unidad:
(a, b) (1,0) = (a·1 - b·0, a·0 + b·1) =(a, b)
Con inverso:
(a, b) · (a, b)-1 = (1, 0)
Distributiva:
(a,b) [(c, d) + (e, f)] = (a, b) (c+e, d+f) = (a(c+e) - b(d+f), a(d+f) + b(c+e)) = (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be) =
=(a,b) (c, d) + (a, b) (e, f)
(C,+ ·) es un cuerpo en el que se sumerge el cuerpo (R, +, ·):
x ∈ R → (x, 0) ∈ C
Ver que:
- j(x+y) = (x+y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = j(x) + j(y)
- j(xy) = (xy, 0) = (x, 0) (y, 0) = j(x) j(y)
Para obtener el inverso (a, b)-1 basta resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta de (a, d) (x, y) = (1, 0)
- ax - by = 1
- bx + ay = 0
| a -b |
Tiene una única solución si sólo si | b a | = a ² - b ² ≠ 0, es decir, si sólo si (a, b) ≠ (0,0)
Ver que si estamos en cuerpo ordenado como R (14 propiedades), se verifican estas cosas:
a < b, c < 0 ==> ac < bc
a < 0 ==>a + (-a) < 0 + (-a) ==> 0 < -a
0 < 1
∀a ≠ 0, a ² > 0
Suponiendo eso, veamos que C no puede darse un orden que sea compatible con las operaciones (C no es un cuerpo ordenable).
Supongamos que < fuera un orden en C compatible con las operaciones. Entonces: (0,1) ² > (0, 0), pero (0, 1) ² = (-1, 0) = -(1, 0) > (0,0) ==>(1, 0) < (0, 0) (unidad menor que neutro).
En C pueden definirse relaciones de orden, incluso todas (antisimétrica, transitiva, total), pero ninguna de ellas es compatible con las operaciones.
Ejemplo: El orden lexicográfico (el de los diccionarios)
(a,b) < (c, d) :⇔ a < c ó a = c, b < d
Ejercicio: Ver que esa relación es transitiva, antisimétrica, total ¿Con cuál de las operaciones no es compatible?
Transitiva:(a,b) < (c, d), (c, d) < (e, f) ==> (a, b) < (e, f)
Antisimétrica: (a, b) < (c, d), (c, d) < (a, b) ==> (a, b) = (c, d)
Total: (a, b) ≠ (c, d) ==>(a, b) < (c, d) ó (c, d) < (a, b)
No es compatible con la multiplicación:
(1,2) < (1, 3) pero (1, 2) (2, 3)=(2-6, 3+4) = (-4, 7) > (1, 3) (2, 3) = (2-9, 3+6) = (-7, 9)
Lo mismo que el racional [(1, 2)] no suele denotarse de esa forma, sino ½. El complejo (a, b) tampoco suele denotarse de esta forma, sino a + bi. Entonces las operaciones entre complejos se hacen como si los complejos a + bi, c + di fueran polinomios de grado uno en la indeterminada i, con el convenio añadido de que i ² = -1
En el complejo (a, b) ó a +bi, de a se dice que es la parte real y de b se dice que es la parte imaginaria.
Re (a +bi) = a
Im (a + bi) = b
(C,+, ·) es algebraicamente cerrado, es decir, se verifica el teorema fundamental del álgebra (todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en él).
Módulo de un número complejo:
Por definición se llama módulo de a + bi al número real no negativo:
|a + bi| = √(a ² + b ²)
Sabemos que todo número real no negativo tiene una y sólo una raíz real.
Ejercicio:
|z1 +z2| = |a + b.i + c + d.i| = |(a+c) + (b+d)i| ≤ |a| + |c| + |b|i + |d|i = |a + b.i| + |c + d.i| =|z1| + |z2|
|z1z2| = |(a + b.i) (c + d.i)| = |a + b.i| |c + d.i| =|z1| |z2|
|z-1| = |z|-1
|-z| = |z|
La notación para el módulo en C es la misma que la de valor absoluto en R, por la sencilla razón de que: ∀ x ∈ R, |x| = |x + 0i|
El módulo extiende a C el valor absoluto que teníamos en R, se llama argumento del complejo a + bi ≠ 0 al ángulo que forma su a fijo con el semieje positivo de abcisas,medido en el sentido directo.
θ = arccos a/√(a ²+b ²) = arcsen b/√(a ²+b ²)
|a + b.i| = ξ
a + b.i = ξ (cos θ + i sen θ)
Multiplicación de números complejos:
´a + b.i = ξ (cos θ + i sen θ)
´c + d.i = ξ (cos θ ´+ i seno θ ´)
(a+b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (a.d + b.c).i = x. ξ ´[cos θ cos θ ´-sen θ sen θ ´ + i(cos θ.sen θ ´+sen θ.cos θ ´)
El producto del complejo de módulo ξ y argumento θ por el complejo de módulo ξ ´ y argumento θ ´,es el complejo de módulo ξξ´ y argumento θ + θ ´
Luego de lo anterior obtenemos:
ξ (cos θ + i.sen θ)n = ξ .(cos n. θ + i.sen n. θ)
De ahí obtenemos inmediatamente que todo número complejo distinto de 0 tiene exactamente n raíces distintas de orden n.
ξ 1/n(cos θ /n + i sen θ /n)
ξ 1/n(cos (θ +2Π)/n + i sen (θ +2Π)/n)
ξ 1/n(cos (θ +4Π)/n + i sen (θ +4Π)/n)
ξ 1/n(cos (θ +2kΠ)/n + i sen (θ +2kΠ)/n) (K=0, 1, 2,.....) FORMULA De Moivre
Geométricamente:
Para n=5. Pentágono regular de radio ξ 1/n inscrito en una circunferencia.
Nos falta decir que es el conjugado de un número complejo: z= a-bi
Expresión decimal de los números reales:
Suponemos conocida la forma "decimal" (en vez de cómo "quebrado" de enteros) de expresar los números racionales. Y también que una expresión decimal a´ b1b2b3.... es de un número racional si sólo si es periódica.
La expresión decimal periódica del número 3/7 la da el algoritmo de la división:
3/7 = 0´428571........
El periodo puede ser 0, en cuyo caso el número es "exacto". Sin embargo, es fácil razonar que todo número racional exacto (con periodo 0) admite otra expresión equivalente con periodo 9.
38´263 = 38´262999....
Hemos recordado como obtener la expresión decimal de un número racional dado como "quebrado" (par de números enteros)
Recíprocamente sabemos como se obtiene, dada la expresión decimal periódica, el "quebrado" al que representa.
23´97253 = 23 + 97253/99900
Hay una relación entre la fracciones y la expresiones decimales periódicas.
Naturalmente,dado un número real x existe el mayor entero ≤ α,también el mayor racional exacto con una cifra decimal ≤ α,también el mayor racional exacto con dos cifras decimales, etc.
Al primero lo llamamos a, al segundo a´ b1,.......
Así obtenemos en sucesión de Cauchy de números racionales (a, a´ b1, a´ b1b2, a´ b1b2b3,..) que es fácil ver que representa a α,es decir, α = [(a, a´ b1, a´ b1b2, a´ b1b2b3,....)]. La expresión decimal de α es a´ b1b2b3....... y sabemos que es periódica si sólo si α el racional.
Definición: Sea A un conjunto infinito (con infinitos elementos)
Se dice que A es numerable cuando se puede establecer una biyección entre A y el conjunto N de los números naturales.
Ejemplo:
El conjunto P, de los números pares positivos es numerable.
N → P
1
2
3
n 2
4
6
2n
Nótese que cuando se trata de conjuntos finitos es imposible establecer una biyección entre el todo y la parte.
El conjunto Z de los número enteros es numerable
N → Z
0 0
1 1 (n+1)/2 si n impar
2 -1
3 2 n ∈ N
4 -2
5 3 -n/2 si n par
6 -3
El conjunto Q de los números racionales es numerable:
Q
-1/3 -1/2 -1/1
-2/3 -2/2 -2/1
-3/3 -3/2 -3/1 1/1 ½ 1/3
2/1 2/2 2/3
3/1 3/2 3/3
N → Q
0 0
1 1/1
2 2/1 Proceso diagonal de Cantor.
3 -2/1
4 -1/1
5 ½
6 3/2
¿Hay algún conjunto intermedio entre Q y R tal que se pueda establecer una biyección entre Q y él ni entre él y R.
El conjunto R de los números reales no es numerable, es decir, no se puede establecer ninguna aplicación 1 a 1 entre N y R. Bastará ver que ninguna aplicación:
N → R
1
2
3 a1´b11b12b13......
a2´b21b22b23......
a3´b31b32b33......
En el conjunto imagen de esta aplicación no está el número real c´ d1d2d3.... donde: dk = 1 si b kk ≠ 1, dk = 3 si b kk = 1
Tenemos N ⊂Z ⊂Q ⊂R donde N; Z; Q son numerables y R no es numerable
¿Existirá A, Q ⊂A ⊂R tal que no exista biyección entre A y Q ni entre A y R?
Si se supone que si existe tal A no se llega a contradicción.
Si se supone que no existe, tampoco se llega a contradicción.
En otras palabras, es imposible encontrar tal A, es imposible probar que no existe.
Ejercicio:
1.- Ver que la unión finita o numerable de conjuntos numerables es numerable:
Indicación: Si A1, A2,....., son numerables entonces se puede escribir:
A1 = {a11, a12, a13,.......}
A2 = {a21, a22, a23,.......}
A3 = {a31, a32, a33,.......}
....................................
....................................
A1U A2 U ...........= {a11, a12, a21, a13, a22, a31,a14, a23, a32, a41,..........}
Esto es el proceso diagonal:
a11, a12, a13,....... N → A1 U A2 U.......
a21, a22, a23,....... 1 a11
a31, a32, a33,....... 2 a12
3 a21
4 a13
2.- El producto finito de conjuntos numerables es numerable:
Para dos conjuntos:
A = {a1, a2, a3,.........}
B = {b`1, b2, b3,........}
A x B: (a1, b1) (a1, b2) (a1, b3).............
(a2, b1) (a2, b2) (a2, b3).............
(a3, b1) (a3, b2) (a3, b3).............
N → A N → B
1
2
3 a1
a2
a3 1
2
3 b1
b3
b3
N → A x B
1
2
3
4 (a1, b1)
(a1, b2)
(a2, b1)
(a1, b3)
Definición:
Un número real se dice que es algebraico si es raíz de algún polinomio con coeficientes racionales (equivalente enteros).
2/3 x ² - ½ x + 1 ≡ 4x ² - 3x + 6
Ejemplo: Todos los números racionales son algebraicos.
A/b es raíz de x - a/b
También es algebraico todo real de la forma
n√a con n ∈ N y a ∈ Q+ es raíz de x - a
Se puede probar que Π y e no son algebraicos. Los números reales que no son algebraicos se llaman transcendentes (Πy e son transcendentes).
Ejercicio:
3.- Ver que el conjunto A ⊂ R de los números reales algebraicos es numerables.
La demostración se hace teniendo en cuenta lo siguiente:
a) Que Q es numerables
b) Que, como consecuencia de a) y de los ejercicios anteriores, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en Q es numerable.
Que un polinomio de grado n con coeficientes en Q tiene, a lo sumo,n raíces reales.