nomografia NR

Números Reales:
Por número real llamaremos a un número que puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.
• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta
• Al conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos (en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede considerarse periódico de periodo 0:1,2 = 1,2000 . . .).El conjunto de los números reales es denotado por R.
Operaciones con números reales:
En el conjunto de los números reales se encuentran definidos dos operaciones básicas que son: la adición, la multiplicación, la sustracción y la división.
Adición de números reales:
La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b- la adición es una función definida así:
+:R x R → R
(a, b) → c = a + b
suma sumandos
Sustracción de números reales:
Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma:
a + d = m
sumandos suma
en la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia:
m – a = d
minuendo diferencia
sustraendo
la diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a:
d = m – a = m + (–a)
Multiplicación:
La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así:
R x R → R
(a, b) → c = a . b
producto factores
división de números reales:
la división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto:
a . b = c
factores producto
en la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente:

en la división tenemos que:

Potenciación de números reales:
Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos:

En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos:
3·3·3·3 = 34 ; 7·7·7·7·7 = 75
El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el numero de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base.
El símbolo completo de base y exponente: base exponente, recibe el nombre de potencia. Así, 34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la quinta potencia de siete.
En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces bn se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir:

Por ejemplo:
52 = 5 · 5 = 25 la base 5 se multiplica por si misma 2 veces
La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres".
La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así π ³ se lee "pi al cubo" ó "el cubo de pi".
La potencias de exponentes 4, 5, 6 . . . reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así: (2 - √5)4 : "cuarta potencia de2 - √5" ó "2 - √5 a la cuarta".
Se conviene en lo siguiente:
1. La potencia de base un número real no nulo y de exponente cero es uno : a0 = 1, a ≠ 0.
2. La potencia de base un número real y exponente uno es el mismo numero real: b1 = b
Así : 101 = 10; (√2 – 3)1 = √2 – 3; π 1 = π .
Radicación de Números Reales:
La radicación es uno de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente y se trata de calcular la potencia :
exponente
bn = ?
base potencia
Propiedades de los números reales (en la adición):
a.-) Propiedad conmutativa: en la adición de números reales, el orden del os sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces = a + b = b + a , por lo anterior se dice que la adición de números reales tiene la propiedad conmutativa.
b.-) Propiedad asociativa: en la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), por lo anterior, se dice, que la adición de números reales tiene la propiedad asociativa.
c.-) Existencia de elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque la suma de cualquier número a y 0 es 0. es decir, si a es un número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a.
d.-) Existencia de elementos simétricos opuestos: para cualquier número real existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así: la suma de un número real y su opuesto es igual a cero (0), el elemento identidad o neutro para la adición. Por ejemplo: –√2 = –(–√2) = √2.
Las propiedades de los números reales (en la sustracción):
a.-) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a- b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción.
b.-) La sustracción de números Reales no es conmutativa. Observa la localización de 3 – √2 y √2 – 3 en la recta real.
c.-) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa:
(3·√2 – √2) – 3·√2 = 2·√2 = 3·√2 – 3·√2 = – √2
3·√2 – (√2 – 3·√2) = 3·√2 – (–2·√2) = 5·√2
como – √2 ≠ 5·√2 , entonces
(3·√2 – √2) – 3·√2 ≠ 3·√2 – (√2 – 3·√2)
d.-) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2; π - 0 = π ; (3·√2 – √2) – 0 = (3·√2 – √2). Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0 – a ≠ a; 0 – 2 ≠ 2, 0 - √3 ≠ √3.
Propiedades de los números reales (en la sustracción):
a.-) si a y b son números reales, entonces su producto a·b es un número real. Por satisfacer esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación.
b.-) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b = b·a.
c.-) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b·c = (a·b)·c = a·(b·c)
d.-) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número a por 1 es a. Es decir, si a es un número real, entonces: a·1 = 1·a = a.
e.-) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a, existe otro número real 1/a = a-1, llamamos inverso de a tal que: a · 1 / a = 1 ó a · a-1 = 1.
f.-) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, multiplicar un número real por una suma indicada de números por cada uno de los sumandos y luego sumar los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces:
(a + b)·c = a·c + b·c
a·c + b·c = (a +b)·c
g.-) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a·0 = 0; 3·0 = 0; 5·0 = 0, 375·0 = 0, (-4)·0 = 0.
Propiedades de los números reales en la división:
a.-) si a y b son números reales, con b no nulo (b ≠ 0), entonces su cociente a / b ó a ÷ b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo.
b.-) La división de números reales no es conmutativa. Observe que: 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8.
c.-) La división de números reales no es asociativa: observa que:
(16 ÷ 4) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
16 ÷ (4 ÷ 2) = 16 ÷ 2 = 8
y como 2 ≠ 8 entonces: (16 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 16 ÷ (4 ÷ 2)
d.-) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real a entre 1 es igual al número a: a ÷ 1 = a

pero 1 no es elemento identidad por la izquierda:

e.-) El divisor en una división siempre debe se diferente de cero.
Ejercicios de aplicación:
• Determinar la propiedad asociativa de estos números racionales


• Determinar las siguientes potencias
a.-
b.-
c.-
d.-

BIBLIOGRAFÍAS:
• ROJAS, JULIAN. Matemática I Conjunto de números Racionales. Ediciones UPEL. Caracas 1985. pp 318
• ROJAS, JULIAN. Matemática II Números Reales. Ediciones UPEL. Caracas 1986. pp 358
• SALAZAR, Jorge. Matemática Educación Básica 7º grado. Editorial ROMOR. Caracas 1986. Pp. 240.
• Universidad Nacional Abierta, Matemática I, Conjuntos Numéricos. Caracas 1990. Pp. 189.
• ACOSTA, Antonio. Matemática I. Contenidos Generales. Caracas 1991 Publicaciones UNA. PP. 662.

Documento cedido por:
JORGE L. CASTILLO T.
http://www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/numeros-irracionales.shtml#REALES