Le proporcionamos información de que la matemática esta en cada masa de este mundo
A continuación varias direcciones donde podrán ver información increíble
ya que aun no se como se incluyen los videos en el blog
te sugiero copiar la dirección de youtube y ver estos incleibles videos del numero de oro
El Número de Oro; Phi; la Divina Proporción
http://www.youtube.com/watch?v=8TOyxTDJX2c
http://www.youtube.com/watch?v=6pfw_KJIfS0&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=GeYMJffjpkw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=aayv8Zsoa6s
http://www.youtube.com/watch?v=cuXRTK2AxHw&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=0Kr0FLlGxlA&feature=related
http://images.google.co.ve/imgres?imgurl=http://2.bp.blogspot.com/_1eGJCbU0f-w/R9B3ziHhP-I/AAAAAAAAAWs/I7i193C103A/s320/pi.jpg&imgrefurl=http://aterrizaje-forzoso.blogspot.com/2008/03/pi-y-phi.html&h=280&w=320&sz=16&hl=es&start=284&tbnid=G6zLrgMquahrgM:&tbnh=103&tbnw=118&prev=/images%3Fq%3Dnumeros%2Birracionales%26start%3D280%26ndsp%3D20%26hl%3Des%26sa%3DN
Explicación básica de los numeros reales
http://www.youtube.com/watch?v=40VpwaisiMs
sábado, 21 de junio de 2008
domingo, 8 de junio de 2008
sábado, 10 de mayo de 2008
nomografia NR
Números Reales:
Por número real llamaremos a un número que puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.
• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta
• Al conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos (en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede considerarse periódico de periodo 0:1,2 = 1,2000 . . .).El conjunto de los números reales es denotado por R.
Operaciones con números reales:
En el conjunto de los números reales se encuentran definidos dos operaciones básicas que son: la adición, la multiplicación, la sustracción y la división.
Adición de números reales:
La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b- la adición es una función definida así:
+:R x R → R
(a, b) → c = a + b
suma sumandos
Sustracción de números reales:
Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma:
a + d = m
sumandos suma
en la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia:
m – a = d
minuendo diferencia
sustraendo
la diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a:
d = m – a = m + (–a)
Multiplicación:
La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así:
R x R → R
(a, b) → c = a . b
producto factores
división de números reales:
la división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto:
a . b = c
factores producto
en la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente:
en la división tenemos que:
Potenciación de números reales:
Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos:
En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos:
3·3·3·3 = 34 ; 7·7·7·7·7 = 75
El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el numero de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base.
El símbolo completo de base y exponente: base exponente, recibe el nombre de potencia. Así, 34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la quinta potencia de siete.
En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces bn se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir:
Por ejemplo:
52 = 5 · 5 = 25 la base 5 se multiplica por si misma 2 veces
La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres".
La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así π ³ se lee "pi al cubo" ó "el cubo de pi".
La potencias de exponentes 4, 5, 6 . . . reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así: (2 - √5)4 : "cuarta potencia de2 - √5" ó "2 - √5 a la cuarta".
Se conviene en lo siguiente:
1. La potencia de base un número real no nulo y de exponente cero es uno : a0 = 1, a ≠ 0.
2. La potencia de base un número real y exponente uno es el mismo numero real: b1 = b
Así : 101 = 10; (√2 – 3)1 = √2 – 3; π 1 = π .
Radicación de Números Reales:
La radicación es uno de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente y se trata de calcular la potencia :
exponente
bn = ?
base potencia
Propiedades de los números reales (en la adición):
a.-) Propiedad conmutativa: en la adición de números reales, el orden del os sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces = a + b = b + a , por lo anterior se dice que la adición de números reales tiene la propiedad conmutativa.
b.-) Propiedad asociativa: en la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), por lo anterior, se dice, que la adición de números reales tiene la propiedad asociativa.
c.-) Existencia de elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque la suma de cualquier número a y 0 es 0. es decir, si a es un número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a.
d.-) Existencia de elementos simétricos opuestos: para cualquier número real existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así: la suma de un número real y su opuesto es igual a cero (0), el elemento identidad o neutro para la adición. Por ejemplo: –√2 = –(–√2) = √2.
Las propiedades de los números reales (en la sustracción):
a.-) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a- b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción.
b.-) La sustracción de números Reales no es conmutativa. Observa la localización de 3 – √2 y √2 – 3 en la recta real.
c.-) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa:
(3·√2 – √2) – 3·√2 = 2·√2 = 3·√2 – 3·√2 = – √2
3·√2 – (√2 – 3·√2) = 3·√2 – (–2·√2) = 5·√2
como – √2 ≠ 5·√2 , entonces
(3·√2 – √2) – 3·√2 ≠ 3·√2 – (√2 – 3·√2)
d.-) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2; π - 0 = π ; (3·√2 – √2) – 0 = (3·√2 – √2). Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0 – a ≠ a; 0 – 2 ≠ 2, 0 - √3 ≠ √3.
Propiedades de los números reales (en la sustracción):
a.-) si a y b son números reales, entonces su producto a·b es un número real. Por satisfacer esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación.
b.-) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b = b·a.
c.-) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b·c = (a·b)·c = a·(b·c)
d.-) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número a por 1 es a. Es decir, si a es un número real, entonces: a·1 = 1·a = a.
e.-) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a, existe otro número real 1/a = a-1, llamamos inverso de a tal que: a · 1 / a = 1 ó a · a-1 = 1.
f.-) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, multiplicar un número real por una suma indicada de números por cada uno de los sumandos y luego sumar los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces:
(a + b)·c = a·c + b·c
a·c + b·c = (a +b)·c
g.-) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a·0 = 0; 3·0 = 0; 5·0 = 0, 375·0 = 0, (-4)·0 = 0.
Propiedades de los números reales en la división:
a.-) si a y b son números reales, con b no nulo (b ≠ 0), entonces su cociente a / b ó a ÷ b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo.
b.-) La división de números reales no es conmutativa. Observe que: 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8.
c.-) La división de números reales no es asociativa: observa que:
(16 ÷ 4) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
16 ÷ (4 ÷ 2) = 16 ÷ 2 = 8
y como 2 ≠ 8 entonces: (16 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 16 ÷ (4 ÷ 2)
d.-) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real a entre 1 es igual al número a: a ÷ 1 = a
pero 1 no es elemento identidad por la izquierda:
e.-) El divisor en una división siempre debe se diferente de cero.
Ejercicios de aplicación:
• Determinar la propiedad asociativa de estos números racionales
• Determinar las siguientes potencias
a.-
b.-
c.-
d.-
BIBLIOGRAFÍAS:
• ROJAS, JULIAN. Matemática I Conjunto de números Racionales. Ediciones UPEL. Caracas 1985. pp 318
• ROJAS, JULIAN. Matemática II Números Reales. Ediciones UPEL. Caracas 1986. pp 358
• SALAZAR, Jorge. Matemática Educación Básica 7º grado. Editorial ROMOR. Caracas 1986. Pp. 240.
• Universidad Nacional Abierta, Matemática I, Conjuntos Numéricos. Caracas 1990. Pp. 189.
• ACOSTA, Antonio. Matemática I. Contenidos Generales. Caracas 1991 Publicaciones UNA. PP. 662.
Documento cedido por:
JORGE L. CASTILLO T.
http://www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/numeros-irracionales.shtml#REALES
Por número real llamaremos a un número que puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.
• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta
• Al conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos (en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede considerarse periódico de periodo 0:1,2 = 1,2000 . . .).El conjunto de los números reales es denotado por R.
Operaciones con números reales:
En el conjunto de los números reales se encuentran definidos dos operaciones básicas que son: la adición, la multiplicación, la sustracción y la división.
Adición de números reales:
La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b- la adición es una función definida así:
+:R x R → R
(a, b) → c = a + b
suma sumandos
Sustracción de números reales:
Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma:
a + d = m
sumandos suma
en la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia:
m – a = d
minuendo diferencia
sustraendo
la diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a:
d = m – a = m + (–a)
Multiplicación:
La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así:
R x R → R
(a, b) → c = a . b
producto factores
división de números reales:
la división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto:
a . b = c
factores producto
en la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente:
en la división tenemos que:
Potenciación de números reales:
Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos:
En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos:
3·3·3·3 = 34 ; 7·7·7·7·7 = 75
El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el numero de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base.
El símbolo completo de base y exponente: base exponente, recibe el nombre de potencia. Así, 34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la quinta potencia de siete.
En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces bn se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir:
Por ejemplo:
52 = 5 · 5 = 25 la base 5 se multiplica por si misma 2 veces
La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres".
La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así π ³ se lee "pi al cubo" ó "el cubo de pi".
La potencias de exponentes 4, 5, 6 . . . reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así: (2 - √5)4 : "cuarta potencia de2 - √5" ó "2 - √5 a la cuarta".
Se conviene en lo siguiente:
1. La potencia de base un número real no nulo y de exponente cero es uno : a0 = 1, a ≠ 0.
2. La potencia de base un número real y exponente uno es el mismo numero real: b1 = b
Así : 101 = 10; (√2 – 3)1 = √2 – 3; π 1 = π .
Radicación de Números Reales:
La radicación es uno de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente y se trata de calcular la potencia :
exponente
bn = ?
base potencia
Propiedades de los números reales (en la adición):
a.-) Propiedad conmutativa: en la adición de números reales, el orden del os sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces = a + b = b + a , por lo anterior se dice que la adición de números reales tiene la propiedad conmutativa.
b.-) Propiedad asociativa: en la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), por lo anterior, se dice, que la adición de números reales tiene la propiedad asociativa.
c.-) Existencia de elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque la suma de cualquier número a y 0 es 0. es decir, si a es un número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a.
d.-) Existencia de elementos simétricos opuestos: para cualquier número real existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así: la suma de un número real y su opuesto es igual a cero (0), el elemento identidad o neutro para la adición. Por ejemplo: –√2 = –(–√2) = √2.
Las propiedades de los números reales (en la sustracción):
a.-) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a- b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción.
b.-) La sustracción de números Reales no es conmutativa. Observa la localización de 3 – √2 y √2 – 3 en la recta real.
c.-) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa:
(3·√2 – √2) – 3·√2 = 2·√2 = 3·√2 – 3·√2 = – √2
3·√2 – (√2 – 3·√2) = 3·√2 – (–2·√2) = 5·√2
como – √2 ≠ 5·√2 , entonces
(3·√2 – √2) – 3·√2 ≠ 3·√2 – (√2 – 3·√2)
d.-) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2; π - 0 = π ; (3·√2 – √2) – 0 = (3·√2 – √2). Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0 – a ≠ a; 0 – 2 ≠ 2, 0 - √3 ≠ √3.
Propiedades de los números reales (en la sustracción):
a.-) si a y b son números reales, entonces su producto a·b es un número real. Por satisfacer esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación.
b.-) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b = b·a.
c.-) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b·c = (a·b)·c = a·(b·c)
d.-) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número a por 1 es a. Es decir, si a es un número real, entonces: a·1 = 1·a = a.
e.-) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a, existe otro número real 1/a = a-1, llamamos inverso de a tal que: a · 1 / a = 1 ó a · a-1 = 1.
f.-) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, multiplicar un número real por una suma indicada de números por cada uno de los sumandos y luego sumar los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces:
(a + b)·c = a·c + b·c
a·c + b·c = (a +b)·c
g.-) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a·0 = 0; 3·0 = 0; 5·0 = 0, 375·0 = 0, (-4)·0 = 0.
Propiedades de los números reales en la división:
a.-) si a y b son números reales, con b no nulo (b ≠ 0), entonces su cociente a / b ó a ÷ b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo.
b.-) La división de números reales no es conmutativa. Observe que: 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8.
c.-) La división de números reales no es asociativa: observa que:
(16 ÷ 4) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
16 ÷ (4 ÷ 2) = 16 ÷ 2 = 8
y como 2 ≠ 8 entonces: (16 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 16 ÷ (4 ÷ 2)
d.-) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real a entre 1 es igual al número a: a ÷ 1 = a
pero 1 no es elemento identidad por la izquierda:
e.-) El divisor en una división siempre debe se diferente de cero.
Ejercicios de aplicación:
• Determinar la propiedad asociativa de estos números racionales
• Determinar las siguientes potencias
a.-
b.-
c.-
d.-
BIBLIOGRAFÍAS:
• ROJAS, JULIAN. Matemática I Conjunto de números Racionales. Ediciones UPEL. Caracas 1985. pp 318
• ROJAS, JULIAN. Matemática II Números Reales. Ediciones UPEL. Caracas 1986. pp 358
• SALAZAR, Jorge. Matemática Educación Básica 7º grado. Editorial ROMOR. Caracas 1986. Pp. 240.
• Universidad Nacional Abierta, Matemática I, Conjuntos Numéricos. Caracas 1990. Pp. 189.
• ACOSTA, Antonio. Matemática I. Contenidos Generales. Caracas 1991 Publicaciones UNA. PP. 662.
Documento cedido por:
JORGE L. CASTILLO T.
http://www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/numeros-irracionales.shtml#REALES
esquema 2 números reales
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm
NUMEROS REALES
Esquema
1).- Las relaciones de Orden de los Números Reales
• Conceptos
• Ejemplos
• Ejercicios
• Gráficos
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
7).- Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
10).- Intervalos Reales
Desarrollo
1).- Las Relaciones de Orden en los Números Reales
• Definición:
Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda.
Relaciones ", " en R.
Consideremos los números reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces.
"3 " 1,732 y "2 " 1,414
1,732 > 1,414
"3 > "2
Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.
Si a < b, entonces b - a > 0
Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.
Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)
Intervalo abierto (a,b) Intervalo cerrado [a,b] Intervalo abierto a la derecha [a,b) Intervalo abierto a la izquierda (a,b]
% %
a b % %
a b % %
a b % %
a b
El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b.
El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b.
Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b.
De la recta numérica se puede deducir que:
• Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo
• Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo.
Orden en los números Reales
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
• a > b
• a < b
• a = b
Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.
• Ejemplos:
Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.
Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centesimas.
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales:
-5/3= -1,67 "5/2= 1,12
Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:
8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3
Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo <. Si hay números que no están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal y luego se comparan y ordenan.
Por ejemplo, para ordenar en forma creciente los números 1/3; -1,3; -"3; 3,1; 2"2; 0,015, primero se escriben los números en forma decimal aproximados, por ejemplo, a las décimas: 1/3 = 0,3 -"3 = -1,7 2"2= 2,8
Luego se ordenan de menor a mayor:
11,7 < -1,3 < 0,015 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y se reemplazan los valores. Resulta: -"3 < -1,3 < 0,015 < 1/3 < 2"2 < 3,1
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
Verifiquemos que la relación mayor o igual que es una relacion de orden total, para ello, comprobaremos que se cumplen las propiedades reflexiva, antisimetrica, transitiva y dicotómica.
Propiedad Reflexiva:
Si a es un numero real, se cumple que a " a; entonces se dice que la relación " cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo: "5 " "5 ya que "5 = "5
Propiedad Transitiva:
Si a, b y c pertenecen a los números reales, si a " b y b " c, luego la relacion " cumple la propiedad transitiva.
Ejemplo: "7 " "3 y "3 " "2 = "7 " "2
Propiedad Antisimétrica:
Si a y b son números reales y a " b, no es posible que se dé la relación b " a. entonces decimos que la relación que cumple es la propiedad antisimetrica.
Ejemplo: "8 " "6 = "6 " "8
Propiedad de Dicotomía:
Si a y b son dos números reales, se cumple que a " b ó b " a. Luego la relación " cumple con la propiedad de dicotomía.
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
La distancia entre 0 y +a es igual a la distancia entre 0 y -a. Esta distancia se llama valor absoluto y se representa |a|
|a| se lee: valor absoluto de a.
-a 0 +a
|+a| = valor absoluto de +a
|-a | = valor absoluto de - a
Grafico de la función Valor Absoluto en R
La grafica de la función valor absoluto se compone de dos rectas. Primero se representará la función valor absoluto para valores de x " 0.
Si x " 0 entonces f(x) = x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales les aparecen en la siguiente tabla:
X 0 1 2
Y 0 1 2
La grafica de esta recta estara situada en el primer cuadrante (x > 0, y > 0)
Si x < 0 entonces f(x) = - x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = - x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales aparecen en la siguiente tabla:
x -1 -2
y 1 2
La grafica de esta recta estará ubicada en el segundo cuadrante x <0,y>0. luego la grafica de la función valor absoluto viene dada por la unión de las dos rectas.
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
A continuación se aplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c
Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5.
De acuerdo con las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones:
• 3x+2=5
3x= 3
x=1
• 3x+2=-5
3x=-7
x=-7/3
La ecuación tiene dos soluciones. Si se sustituye cada solución en la ecuación original, se debe cumplir la igualdad.
• Para x=1
|3x+2|=5
|3 . 1+2|=5 |3 +2|=5
|5|=5
• Para x=-7/3
|3x+2|=5
|3 . (-7/3)+2|=5 |-7+2|=5
|-5|=5
“En resumen, al resolver una ecuación de la forma |ax+b|=c, hallamos el valor de x en ax+b=c y en -(ax+b)=c donde a, b, c R.”
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
La recta R sobre la cual representamos los números racionales e irracionales se llama Recta Real. Dado un punto P cualquiera en la recta, al numero real a lo llamamos coordenada o abcisa de P y lo denotamos por P(a), que se lee: punto de coordenada a.
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
A cada punto de una recta real se le coloca un único número real llamado coordenada o abcisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le coloca un unico numero para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada numero sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina sistema de coordenadas en la recta, y una recta con un sistema de coordenadas se llama recta real.
• Si se usa una letra mayúscula para denotar un punto de una recta se usará su correspondiente letra minúscula para denotar su coordenada, asi A(a) se lee”A de a” y denota que el numero real a es coordenada del punto A.
• Al numero real cero le corresponde el punto o y se llama punto de origen.
• Al numero real uno le corresponde el punto u y se llama punto de unidad.
7).- Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
En una recta real, dados los puntos A y B tales que sus coordenadas sean los números reales a y b, respectivamente, se tiene que la distancia entre esos puntos es la diferencia entre el numero mayor y el numero menor, o sea, el numero a - b o b - a, dependiendo de cual de los números sea mayor o menor.
“Si R es un punto de abcisa a, y Q es un punto de abcisa b, la distancia entre R y Q es igual al valor absoluto de la diferencia de las abcisas o coordenadas d(R,Q) = |b-a|”
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
La coordenada m del punto medio M del segmento de extremos A(a) y B(b) está dada mediante m=a+b/2. ¿Por qué?
Veamos, si M(m) es el punto medio, entonces d(AM) = d(MB), y se cumple que m - a = b - m. Al sumar a ambos miembros m+a se tiene que 2m=a+b, y al dividir entre 2 se obtiene que m=a+b/2.
Por ejemplo, sobre la recta real, ¿Cuál es la coordenada del punto medio M segmento AB tal que A(2) y B(10)?
Ya que M es el punto medio del segmento AB, su coordenada m debe ser la media aritmética, es decir, m=2+10/2=6.
Ejemplos:
• ¿Cuál es la distancia del punto A(-3) al origen de coordenadas?
La respuesta es 3 porque la distancia de un punto cualquiera de la recta real al origen de coordenadas es su coordenada carente de signo, es decir, el valor absoluto de su coordenada.
• Dados los puntos A(-3), B(6) y C(7). ¿Cuál de ellos está mas lejos del origen de coordenadas? ¿y cual está Mas cerca?
Un punto está mas lejos de otro si su distancia es mayor que la otra y está mas cerca si su distancia es menor. Se tiene en este caso que
d(OA)=|0-(-3)|=3, d(OB)= |0-6| y d(OC)= |0-7|=7. por ende, el punto C es el que esta mas cercano.
• Dados los puntos A(-3), B(0), C(4) y O(12), ¿Cuál de los tres puntos restantes está mas alejado del punto B? ¿y cual esta mas cercano a el?
Las distancias de los puntos a B son d(AB)=|0-(-3)|=3, d(BC)=|4-0|=4 y d(BP)= |12-0|=12. por lo tanto, el punto mas alejado es el punto Py el punto mas cercano es A.
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
Distancia positiva:
Calculemos la distancia d(A,B) dados los puntos A y B de la recta !, de coordenadas 2 y 6 respectivamente.
La distancia (d) entre 2 y 6 es 4, independientemente de que se mida de derecha a izquierda o viceversa.
La distancia entre 2 puntos de una recta es siempre un numero positivo; es decir, d(A, B) " 0.
Distancia cero en puntos coincidentes:
Al calcular la distancia entre los puntos R de coordenada 5 y Q de coordenada 5, observamos que la distancia es igual a Cero.
La distancia entre dos puntos es cero, si y solo si dichos puntos coinciden; es decir, d(Q, R)= 0 Q = R
Desigualdad triangular:
Dados los puntos P, Q, R pertenecientes a la recta r, cuando R es mayor que P y Q, siempre se cumplirá lo siguiente:
d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)
Cuando R está entre P y Q, siempre se cumplirá que:
d(P, R) < d(P, Q) + d(Q, R)
Dados tres puntos A, B, C sobre la recta real, se cumple que:
d(A, B) " d(A, C) + d(C,B)
10).- Intervalos Reales
Los números que están ordenados en forma creciente o decreciente pueden agruparse en conjuntos. En el caso de los números reales se hace necesario crear subconjuntos que llamaremos intervalos, los cuales pueden agruparse de varias formas.
Tipos de intervalos reales:
• Intervalo cerrado
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo cerrado de extremos a y b está formado por todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores que b, con a y b incluidos; lo denotamos asi: [a,b].
[a,b] = {x R a " x " b}
• Intervalo abierto
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo abierto de extremos a,b está formado por todos los números reales que son mayores que a y menores que b, sin incluir ni a ni b, y lo denotamos así: (a,b)
(a,b) = {x R a < x < b}
• Intervalo semiabierto a la izquierda
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a,b está formado por todos los números reales mayores que y menores e iguales que b; es decir, excluye a a e incluye a b. este intervalo se denota (a,b]
(a,b] = {x R a < x " b}
• Intervalo semiabierto a la derecha
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo a la derecha de extremos a,b esta formado por todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b, es decir, incluye a a y excluye a b. este intervalo se denota [a,b).
[a,b) = {x R a " x < b}
• Intervalo al infinito
Dada la recta ! y el número a, consideremos el conjunto de los números reales mayores o iguales que a. Al representar en la recta observamos que todos los números reales a la derecha de a pertenecen a este intervalo, por ello no podemos representarlo mediante un segmento. Representamos mediante una semirrecta de origen a y extremo infinito. Este intervalo se denota [a + °°)
a) [a , °°) = {x R x " a}
b) (a , + °°) = {x R x > a}
c) (-°°, a) = {x R x " a}
d) (-°°, a) = {x R x < a}
http://html.rincondelvago.com/numeros-reales_2.html
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m1_numeros_reales.php
Matemática - Números Reales
Contenido
Apunte de Números Reales: Construcción a partir de reales de los números complejos. Multiplicación de números complejos. Formula De Moivre. Proceso diagonal de Cantor. Módulo.
Construcción a partir de R de los números complejos (C)
¿Por qué esta nueva extensión? El polinomio x - 3 tiene raíz en N (el 3), pero x + 3 no. Si la tiene en Z (el -3). El polinomio 2x-3 no tiene raíz en Z pero si en Q (el -3/2). El polinomio x ²-2 no tiene raíces en Q, pero sí en R (el ± √2). El polinomio x ²+2 no tiene raíces en R (∀a ∈ R, a ² > 0, puesto que a < 0 ==>a·a > a·0 ==> a ² > 0 y si a > 0 ==>a·a > 0·a ==> a ² > 0). Este el fallo de R.
En la nueva extensión del concepto de número que vamos a hacer (números complejos) se verifica el siguiente teorema fundamental del álgebra.
Todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en C.
Esta última extensión del conjunto de números halla aquella ganancia (TFA) pero también una pérdida importante, la del orden.
El cuerpo de los números complejos es simplemente el conjunto R x R de pares ordenados de números reales, dotado de las operaciones:
Adición: (a, b) + (c, d) = (a+b, c+d)
Multiplicación: (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
La adición es asociativa, conmutativa, con neutro y opuesto.
Asociativa
(a,b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (c+e, d+f) = (a+c+e, b+d+f) = (a+c, b+d) + (e, f) = [(a, b) + (c, d)] + (e, f)
Conmutativa:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) =(c, d) + (a,b)
Neutro:
(a, b) + (0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b)
Opuesto:
(a, b) + (-a, -b) = (a-a, b-b) = (0, 0)
La multiplicación es asociativa, conmutativa, con unidad e inverso.
Asociativa:
(a,b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) (ce - df, cf + de) = (ac - bd, ad + bc) (e, f) = [(a, b) (c, d)] (e, f)
Conmutativa:
(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Con unidad:
(a, b) (1,0) = (a·1 - b·0, a·0 + b·1) =(a, b)
Con inverso:
(a, b) · (a, b)-1 = (1, 0)
Distributiva:
(a,b) [(c, d) + (e, f)] = (a, b) (c+e, d+f) = (a(c+e) - b(d+f), a(d+f) + b(c+e)) = (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be) =
=(a,b) (c, d) + (a, b) (e, f)
(C,+ ·) es un cuerpo en el que se sumerge el cuerpo (R, +, ·):
x ∈ R → (x, 0) ∈ C
Ver que:
- j(x+y) = (x+y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = j(x) + j(y)
- j(xy) = (xy, 0) = (x, 0) (y, 0) = j(x) j(y)
Para obtener el inverso (a, b)-1 basta resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta de (a, d) (x, y) = (1, 0)
- ax - by = 1
- bx + ay = 0
| a -b |
Tiene una única solución si sólo si | b a | = a ² - b ² ≠ 0, es decir, si sólo si (a, b) ≠ (0,0)
Ver que si estamos en cuerpo ordenado como R (14 propiedades), se verifican estas cosas:
a < b, c < 0 ==> ac < bc
a < 0 ==>a + (-a) < 0 + (-a) ==> 0 < -a
0 < 1
∀a ≠ 0, a ² > 0
Suponiendo eso, veamos que C no puede darse un orden que sea compatible con las operaciones (C no es un cuerpo ordenable).
Supongamos que < fuera un orden en C compatible con las operaciones. Entonces: (0,1) ² > (0, 0), pero (0, 1) ² = (-1, 0) = -(1, 0) > (0,0) ==>(1, 0) < (0, 0) (unidad menor que neutro).
En C pueden definirse relaciones de orden, incluso todas (antisimétrica, transitiva, total), pero ninguna de ellas es compatible con las operaciones.
Ejemplo: El orden lexicográfico (el de los diccionarios)
(a,b) < (c, d) :⇔ a < c ó a = c, b < d
Ejercicio: Ver que esa relación es transitiva, antisimétrica, total ¿Con cuál de las operaciones no es compatible?
Transitiva:(a,b) < (c, d), (c, d) < (e, f) ==> (a, b) < (e, f)
Antisimétrica: (a, b) < (c, d), (c, d) < (a, b) ==> (a, b) = (c, d)
Total: (a, b) ≠ (c, d) ==>(a, b) < (c, d) ó (c, d) < (a, b)
No es compatible con la multiplicación:
(1,2) < (1, 3) pero (1, 2) (2, 3)=(2-6, 3+4) = (-4, 7) > (1, 3) (2, 3) = (2-9, 3+6) = (-7, 9)
Lo mismo que el racional [(1, 2)] no suele denotarse de esa forma, sino ½. El complejo (a, b) tampoco suele denotarse de esta forma, sino a + bi. Entonces las operaciones entre complejos se hacen como si los complejos a + bi, c + di fueran polinomios de grado uno en la indeterminada i, con el convenio añadido de que i ² = -1
En el complejo (a, b) ó a +bi, de a se dice que es la parte real y de b se dice que es la parte imaginaria.
Re (a +bi) = a
Im (a + bi) = b
(C,+, ·) es algebraicamente cerrado, es decir, se verifica el teorema fundamental del álgebra (todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en él).
Módulo de un número complejo:
Por definición se llama módulo de a + bi al número real no negativo:
|a + bi| = √(a ² + b ²)
Sabemos que todo número real no negativo tiene una y sólo una raíz real.
Ejercicio:
|z1 +z2| = |a + b.i + c + d.i| = |(a+c) + (b+d)i| ≤ |a| + |c| + |b|i + |d|i = |a + b.i| + |c + d.i| =|z1| + |z2|
|z1z2| = |(a + b.i) (c + d.i)| = |a + b.i| |c + d.i| =|z1| |z2|
|z-1| = |z|-1
|-z| = |z|
La notación para el módulo en C es la misma que la de valor absoluto en R, por la sencilla razón de que: ∀ x ∈ R, |x| = |x + 0i|
El módulo extiende a C el valor absoluto que teníamos en R, se llama argumento del complejo a + bi ≠ 0 al ángulo que forma su a fijo con el semieje positivo de abcisas,medido en el sentido directo.
θ = arccos a/√(a ²+b ²) = arcsen b/√(a ²+b ²)
|a + b.i| = ξ
a + b.i = ξ (cos θ + i sen θ)
Multiplicación de números complejos:
´a + b.i = ξ (cos θ + i sen θ)
´c + d.i = ξ (cos θ ´+ i seno θ ´)
(a+b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (a.d + b.c).i = x. ξ ´[cos θ cos θ ´-sen θ sen θ ´ + i(cos θ.sen θ ´+sen θ.cos θ ´)
El producto del complejo de módulo ξ y argumento θ por el complejo de módulo ξ ´ y argumento θ ´,es el complejo de módulo ξξ´ y argumento θ + θ ´
Luego de lo anterior obtenemos:
ξ (cos θ + i.sen θ)n = ξ .(cos n. θ + i.sen n. θ)
De ahí obtenemos inmediatamente que todo número complejo distinto de 0 tiene exactamente n raíces distintas de orden n.
ξ 1/n(cos θ /n + i sen θ /n)
ξ 1/n(cos (θ +2Π)/n + i sen (θ +2Π)/n)
ξ 1/n(cos (θ +4Π)/n + i sen (θ +4Π)/n)
ξ 1/n(cos (θ +2kΠ)/n + i sen (θ +2kΠ)/n) (K=0, 1, 2,.....) FORMULA De Moivre
Geométricamente:
Para n=5. Pentágono regular de radio ξ 1/n inscrito en una circunferencia.
Nos falta decir que es el conjugado de un número complejo: z= a-bi
Expresión decimal de los números reales:
Suponemos conocida la forma "decimal" (en vez de cómo "quebrado" de enteros) de expresar los números racionales. Y también que una expresión decimal a´ b1b2b3.... es de un número racional si sólo si es periódica.
La expresión decimal periódica del número 3/7 la da el algoritmo de la división:
3/7 = 0´428571........
El periodo puede ser 0, en cuyo caso el número es "exacto". Sin embargo, es fácil razonar que todo número racional exacto (con periodo 0) admite otra expresión equivalente con periodo 9.
38´263 = 38´262999....
Hemos recordado como obtener la expresión decimal de un número racional dado como "quebrado" (par de números enteros)
Recíprocamente sabemos como se obtiene, dada la expresión decimal periódica, el "quebrado" al que representa.
23´97253 = 23 + 97253/99900
Hay una relación entre la fracciones y la expresiones decimales periódicas.
Naturalmente,dado un número real x existe el mayor entero ≤ α,también el mayor racional exacto con una cifra decimal ≤ α,también el mayor racional exacto con dos cifras decimales, etc.
Al primero lo llamamos a, al segundo a´ b1,.......
Así obtenemos en sucesión de Cauchy de números racionales (a, a´ b1, a´ b1b2, a´ b1b2b3,..) que es fácil ver que representa a α,es decir, α = [(a, a´ b1, a´ b1b2, a´ b1b2b3,....)]. La expresión decimal de α es a´ b1b2b3....... y sabemos que es periódica si sólo si α el racional.
Definición: Sea A un conjunto infinito (con infinitos elementos)
Se dice que A es numerable cuando se puede establecer una biyección entre A y el conjunto N de los números naturales.
Ejemplo:
El conjunto P, de los números pares positivos es numerable.
N → P
1
2
3
n 2
4
6
2n
Nótese que cuando se trata de conjuntos finitos es imposible establecer una biyección entre el todo y la parte.
El conjunto Z de los número enteros es numerable
N → Z
0 0
1 1 (n+1)/2 si n impar
2 -1
3 2 n ∈ N
4 -2
5 3 -n/2 si n par
6 -3
El conjunto Q de los números racionales es numerable:
Q
-1/3 -1/2 -1/1
-2/3 -2/2 -2/1
-3/3 -3/2 -3/1 1/1 ½ 1/3
2/1 2/2 2/3
3/1 3/2 3/3
N → Q
0 0
1 1/1
2 2/1 Proceso diagonal de Cantor.
3 -2/1
4 -1/1
5 ½
6 3/2
¿Hay algún conjunto intermedio entre Q y R tal que se pueda establecer una biyección entre Q y él ni entre él y R.
El conjunto R de los números reales no es numerable, es decir, no se puede establecer ninguna aplicación 1 a 1 entre N y R. Bastará ver que ninguna aplicación:
N → R
1
2
3 a1´b11b12b13......
a2´b21b22b23......
a3´b31b32b33......
En el conjunto imagen de esta aplicación no está el número real c´ d1d2d3.... donde: dk = 1 si b kk ≠ 1, dk = 3 si b kk = 1
Tenemos N ⊂Z ⊂Q ⊂R donde N; Z; Q son numerables y R no es numerable
¿Existirá A, Q ⊂A ⊂R tal que no exista biyección entre A y Q ni entre A y R?
Si se supone que si existe tal A no se llega a contradicción.
Si se supone que no existe, tampoco se llega a contradicción.
En otras palabras, es imposible encontrar tal A, es imposible probar que no existe.
Ejercicio:
1.- Ver que la unión finita o numerable de conjuntos numerables es numerable:
Indicación: Si A1, A2,....., son numerables entonces se puede escribir:
A1 = {a11, a12, a13,.......}
A2 = {a21, a22, a23,.......}
A3 = {a31, a32, a33,.......}
....................................
....................................
A1U A2 U ...........= {a11, a12, a21, a13, a22, a31,a14, a23, a32, a41,..........}
Esto es el proceso diagonal:
a11, a12, a13,....... N → A1 U A2 U.......
a21, a22, a23,....... 1 a11
a31, a32, a33,....... 2 a12
3 a21
4 a13
2.- El producto finito de conjuntos numerables es numerable:
Para dos conjuntos:
A = {a1, a2, a3,.........}
B = {b`1, b2, b3,........}
A x B: (a1, b1) (a1, b2) (a1, b3).............
(a2, b1) (a2, b2) (a2, b3).............
(a3, b1) (a3, b2) (a3, b3).............
N → A N → B
1
2
3 a1
a2
a3 1
2
3 b1
b3
b3
N → A x B
1
2
3
4 (a1, b1)
(a1, b2)
(a2, b1)
(a1, b3)
Definición:
Un número real se dice que es algebraico si es raíz de algún polinomio con coeficientes racionales (equivalente enteros).
2/3 x ² - ½ x + 1 ≡ 4x ² - 3x + 6
Ejemplo: Todos los números racionales son algebraicos.
A/b es raíz de x - a/b
También es algebraico todo real de la forma
n√a con n ∈ N y a ∈ Q+ es raíz de x - a
Se puede probar que Π y e no son algebraicos. Los números reales que no son algebraicos se llaman transcendentes (Πy e son transcendentes).
Ejercicio:
3.- Ver que el conjunto A ⊂ R de los números reales algebraicos es numerables.
La demostración se hace teniendo en cuenta lo siguiente:
a) Que Q es numerables
b) Que, como consecuencia de a) y de los ejercicios anteriores, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en Q es numerable.
Que un polinomio de grado n con coeficientes en Q tiene, a lo sumo,n raíces reales.
NUMEROS REALES
Esquema
1).- Las relaciones de Orden de los Números Reales
• Conceptos
• Ejemplos
• Ejercicios
• Gráficos
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
7).- Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
10).- Intervalos Reales
Desarrollo
1).- Las Relaciones de Orden en los Números Reales
• Definición:
Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda.
Relaciones ", " en R.
Consideremos los números reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces.
"3 " 1,732 y "2 " 1,414
1,732 > 1,414
"3 > "2
Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.
Si a < b, entonces b - a > 0
Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.
Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)
Intervalo abierto (a,b) Intervalo cerrado [a,b] Intervalo abierto a la derecha [a,b) Intervalo abierto a la izquierda (a,b]
% %
a b % %
a b % %
a b % %
a b
El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b.
El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b.
Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b.
De la recta numérica se puede deducir que:
• Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo
• Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo.
Orden en los números Reales
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
• a > b
• a < b
• a = b
Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.
• Ejemplos:
Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.
Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centesimas.
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales:
-5/3= -1,67 "5/2= 1,12
Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:
8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3
Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo <. Si hay números que no están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal y luego se comparan y ordenan.
Por ejemplo, para ordenar en forma creciente los números 1/3; -1,3; -"3; 3,1; 2"2; 0,015, primero se escriben los números en forma decimal aproximados, por ejemplo, a las décimas: 1/3 = 0,3 -"3 = -1,7 2"2= 2,8
Luego se ordenan de menor a mayor:
11,7 < -1,3 < 0,015 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y se reemplazan los valores. Resulta: -"3 < -1,3 < 0,015 < 1/3 < 2"2 < 3,1
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
Verifiquemos que la relación mayor o igual que es una relacion de orden total, para ello, comprobaremos que se cumplen las propiedades reflexiva, antisimetrica, transitiva y dicotómica.
Propiedad Reflexiva:
Si a es un numero real, se cumple que a " a; entonces se dice que la relación " cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo: "5 " "5 ya que "5 = "5
Propiedad Transitiva:
Si a, b y c pertenecen a los números reales, si a " b y b " c, luego la relacion " cumple la propiedad transitiva.
Ejemplo: "7 " "3 y "3 " "2 = "7 " "2
Propiedad Antisimétrica:
Si a y b son números reales y a " b, no es posible que se dé la relación b " a. entonces decimos que la relación que cumple es la propiedad antisimetrica.
Ejemplo: "8 " "6 = "6 " "8
Propiedad de Dicotomía:
Si a y b son dos números reales, se cumple que a " b ó b " a. Luego la relación " cumple con la propiedad de dicotomía.
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
La distancia entre 0 y +a es igual a la distancia entre 0 y -a. Esta distancia se llama valor absoluto y se representa |a|
|a| se lee: valor absoluto de a.
-a 0 +a
|+a| = valor absoluto de +a
|-a | = valor absoluto de - a
Grafico de la función Valor Absoluto en R
La grafica de la función valor absoluto se compone de dos rectas. Primero se representará la función valor absoluto para valores de x " 0.
Si x " 0 entonces f(x) = x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales les aparecen en la siguiente tabla:
X 0 1 2
Y 0 1 2
La grafica de esta recta estara situada en el primer cuadrante (x > 0, y > 0)
Si x < 0 entonces f(x) = - x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = - x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales aparecen en la siguiente tabla:
x -1 -2
y 1 2
La grafica de esta recta estará ubicada en el segundo cuadrante x <0,y>0. luego la grafica de la función valor absoluto viene dada por la unión de las dos rectas.
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
A continuación se aplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c
Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5.
De acuerdo con las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones:
• 3x+2=5
3x= 3
x=1
• 3x+2=-5
3x=-7
x=-7/3
La ecuación tiene dos soluciones. Si se sustituye cada solución en la ecuación original, se debe cumplir la igualdad.
• Para x=1
|3x+2|=5
|3 . 1+2|=5 |3 +2|=5
|5|=5
• Para x=-7/3
|3x+2|=5
|3 . (-7/3)+2|=5 |-7+2|=5
|-5|=5
“En resumen, al resolver una ecuación de la forma |ax+b|=c, hallamos el valor de x en ax+b=c y en -(ax+b)=c donde a, b, c R.”
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
La recta R sobre la cual representamos los números racionales e irracionales se llama Recta Real. Dado un punto P cualquiera en la recta, al numero real a lo llamamos coordenada o abcisa de P y lo denotamos por P(a), que se lee: punto de coordenada a.
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
A cada punto de una recta real se le coloca un único número real llamado coordenada o abcisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le coloca un unico numero para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada numero sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina sistema de coordenadas en la recta, y una recta con un sistema de coordenadas se llama recta real.
• Si se usa una letra mayúscula para denotar un punto de una recta se usará su correspondiente letra minúscula para denotar su coordenada, asi A(a) se lee”A de a” y denota que el numero real a es coordenada del punto A.
• Al numero real cero le corresponde el punto o y se llama punto de origen.
• Al numero real uno le corresponde el punto u y se llama punto de unidad.
7).- Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
En una recta real, dados los puntos A y B tales que sus coordenadas sean los números reales a y b, respectivamente, se tiene que la distancia entre esos puntos es la diferencia entre el numero mayor y el numero menor, o sea, el numero a - b o b - a, dependiendo de cual de los números sea mayor o menor.
“Si R es un punto de abcisa a, y Q es un punto de abcisa b, la distancia entre R y Q es igual al valor absoluto de la diferencia de las abcisas o coordenadas d(R,Q) = |b-a|”
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
La coordenada m del punto medio M del segmento de extremos A(a) y B(b) está dada mediante m=a+b/2. ¿Por qué?
Veamos, si M(m) es el punto medio, entonces d(AM) = d(MB), y se cumple que m - a = b - m. Al sumar a ambos miembros m+a se tiene que 2m=a+b, y al dividir entre 2 se obtiene que m=a+b/2.
Por ejemplo, sobre la recta real, ¿Cuál es la coordenada del punto medio M segmento AB tal que A(2) y B(10)?
Ya que M es el punto medio del segmento AB, su coordenada m debe ser la media aritmética, es decir, m=2+10/2=6.
Ejemplos:
• ¿Cuál es la distancia del punto A(-3) al origen de coordenadas?
La respuesta es 3 porque la distancia de un punto cualquiera de la recta real al origen de coordenadas es su coordenada carente de signo, es decir, el valor absoluto de su coordenada.
• Dados los puntos A(-3), B(6) y C(7). ¿Cuál de ellos está mas lejos del origen de coordenadas? ¿y cual está Mas cerca?
Un punto está mas lejos de otro si su distancia es mayor que la otra y está mas cerca si su distancia es menor. Se tiene en este caso que
d(OA)=|0-(-3)|=3, d(OB)= |0-6| y d(OC)= |0-7|=7. por ende, el punto C es el que esta mas cercano.
• Dados los puntos A(-3), B(0), C(4) y O(12), ¿Cuál de los tres puntos restantes está mas alejado del punto B? ¿y cual esta mas cercano a el?
Las distancias de los puntos a B son d(AB)=|0-(-3)|=3, d(BC)=|4-0|=4 y d(BP)= |12-0|=12. por lo tanto, el punto mas alejado es el punto Py el punto mas cercano es A.
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
Distancia positiva:
Calculemos la distancia d(A,B) dados los puntos A y B de la recta !, de coordenadas 2 y 6 respectivamente.
La distancia (d) entre 2 y 6 es 4, independientemente de que se mida de derecha a izquierda o viceversa.
La distancia entre 2 puntos de una recta es siempre un numero positivo; es decir, d(A, B) " 0.
Distancia cero en puntos coincidentes:
Al calcular la distancia entre los puntos R de coordenada 5 y Q de coordenada 5, observamos que la distancia es igual a Cero.
La distancia entre dos puntos es cero, si y solo si dichos puntos coinciden; es decir, d(Q, R)= 0 Q = R
Desigualdad triangular:
Dados los puntos P, Q, R pertenecientes a la recta r, cuando R es mayor que P y Q, siempre se cumplirá lo siguiente:
d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)
Cuando R está entre P y Q, siempre se cumplirá que:
d(P, R) < d(P, Q) + d(Q, R)
Dados tres puntos A, B, C sobre la recta real, se cumple que:
d(A, B) " d(A, C) + d(C,B)
10).- Intervalos Reales
Los números que están ordenados en forma creciente o decreciente pueden agruparse en conjuntos. En el caso de los números reales se hace necesario crear subconjuntos que llamaremos intervalos, los cuales pueden agruparse de varias formas.
Tipos de intervalos reales:
• Intervalo cerrado
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo cerrado de extremos a y b está formado por todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores que b, con a y b incluidos; lo denotamos asi: [a,b].
[a,b] = {x R a " x " b}
• Intervalo abierto
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo abierto de extremos a,b está formado por todos los números reales que son mayores que a y menores que b, sin incluir ni a ni b, y lo denotamos así: (a,b)
(a,b) = {x R a < x < b}
• Intervalo semiabierto a la izquierda
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a,b está formado por todos los números reales mayores que y menores e iguales que b; es decir, excluye a a e incluye a b. este intervalo se denota (a,b]
(a,b] = {x R a < x " b}
• Intervalo semiabierto a la derecha
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo a la derecha de extremos a,b esta formado por todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b, es decir, incluye a a y excluye a b. este intervalo se denota [a,b).
[a,b) = {x R a " x < b}
• Intervalo al infinito
Dada la recta ! y el número a, consideremos el conjunto de los números reales mayores o iguales que a. Al representar en la recta observamos que todos los números reales a la derecha de a pertenecen a este intervalo, por ello no podemos representarlo mediante un segmento. Representamos mediante una semirrecta de origen a y extremo infinito. Este intervalo se denota [a + °°)
a) [a , °°) = {x R x " a}
b) (a , + °°) = {x R x > a}
c) (-°°, a) = {x R x " a}
d) (-°°, a) = {x R x < a}
http://html.rincondelvago.com/numeros-reales_2.html
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m1_numeros_reales.php
Matemática - Números Reales
Contenido
Apunte de Números Reales: Construcción a partir de reales de los números complejos. Multiplicación de números complejos. Formula De Moivre. Proceso diagonal de Cantor. Módulo.
Construcción a partir de R de los números complejos (C)
¿Por qué esta nueva extensión? El polinomio x - 3 tiene raíz en N (el 3), pero x + 3 no. Si la tiene en Z (el -3). El polinomio 2x-3 no tiene raíz en Z pero si en Q (el -3/2). El polinomio x ²-2 no tiene raíces en Q, pero sí en R (el ± √2). El polinomio x ²+2 no tiene raíces en R (∀a ∈ R, a ² > 0, puesto que a < 0 ==>a·a > a·0 ==> a ² > 0 y si a > 0 ==>a·a > 0·a ==> a ² > 0). Este el fallo de R.
En la nueva extensión del concepto de número que vamos a hacer (números complejos) se verifica el siguiente teorema fundamental del álgebra.
Todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en C.
Esta última extensión del conjunto de números halla aquella ganancia (TFA) pero también una pérdida importante, la del orden.
El cuerpo de los números complejos es simplemente el conjunto R x R de pares ordenados de números reales, dotado de las operaciones:
Adición: (a, b) + (c, d) = (a+b, c+d)
Multiplicación: (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
La adición es asociativa, conmutativa, con neutro y opuesto.
Asociativa
(a,b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (c+e, d+f) = (a+c+e, b+d+f) = (a+c, b+d) + (e, f) = [(a, b) + (c, d)] + (e, f)
Conmutativa:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) =(c, d) + (a,b)
Neutro:
(a, b) + (0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b)
Opuesto:
(a, b) + (-a, -b) = (a-a, b-b) = (0, 0)
La multiplicación es asociativa, conmutativa, con unidad e inverso.
Asociativa:
(a,b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) (ce - df, cf + de) = (ac - bd, ad + bc) (e, f) = [(a, b) (c, d)] (e, f)
Conmutativa:
(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Con unidad:
(a, b) (1,0) = (a·1 - b·0, a·0 + b·1) =(a, b)
Con inverso:
(a, b) · (a, b)-1 = (1, 0)
Distributiva:
(a,b) [(c, d) + (e, f)] = (a, b) (c+e, d+f) = (a(c+e) - b(d+f), a(d+f) + b(c+e)) = (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be) =
=(a,b) (c, d) + (a, b) (e, f)
(C,+ ·) es un cuerpo en el que se sumerge el cuerpo (R, +, ·):
x ∈ R → (x, 0) ∈ C
Ver que:
- j(x+y) = (x+y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = j(x) + j(y)
- j(xy) = (xy, 0) = (x, 0) (y, 0) = j(x) j(y)
Para obtener el inverso (a, b)-1 basta resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta de (a, d) (x, y) = (1, 0)
- ax - by = 1
- bx + ay = 0
| a -b |
Tiene una única solución si sólo si | b a | = a ² - b ² ≠ 0, es decir, si sólo si (a, b) ≠ (0,0)
Ver que si estamos en cuerpo ordenado como R (14 propiedades), se verifican estas cosas:
a < b, c < 0 ==> ac < bc
a < 0 ==>a + (-a) < 0 + (-a) ==> 0 < -a
0 < 1
∀a ≠ 0, a ² > 0
Suponiendo eso, veamos que C no puede darse un orden que sea compatible con las operaciones (C no es un cuerpo ordenable).
Supongamos que < fuera un orden en C compatible con las operaciones. Entonces: (0,1) ² > (0, 0), pero (0, 1) ² = (-1, 0) = -(1, 0) > (0,0) ==>(1, 0) < (0, 0) (unidad menor que neutro).
En C pueden definirse relaciones de orden, incluso todas (antisimétrica, transitiva, total), pero ninguna de ellas es compatible con las operaciones.
Ejemplo: El orden lexicográfico (el de los diccionarios)
(a,b) < (c, d) :⇔ a < c ó a = c, b < d
Ejercicio: Ver que esa relación es transitiva, antisimétrica, total ¿Con cuál de las operaciones no es compatible?
Transitiva:(a,b) < (c, d), (c, d) < (e, f) ==> (a, b) < (e, f)
Antisimétrica: (a, b) < (c, d), (c, d) < (a, b) ==> (a, b) = (c, d)
Total: (a, b) ≠ (c, d) ==>(a, b) < (c, d) ó (c, d) < (a, b)
No es compatible con la multiplicación:
(1,2) < (1, 3) pero (1, 2) (2, 3)=(2-6, 3+4) = (-4, 7) > (1, 3) (2, 3) = (2-9, 3+6) = (-7, 9)
Lo mismo que el racional [(1, 2)] no suele denotarse de esa forma, sino ½. El complejo (a, b) tampoco suele denotarse de esta forma, sino a + bi. Entonces las operaciones entre complejos se hacen como si los complejos a + bi, c + di fueran polinomios de grado uno en la indeterminada i, con el convenio añadido de que i ² = -1
En el complejo (a, b) ó a +bi, de a se dice que es la parte real y de b se dice que es la parte imaginaria.
Re (a +bi) = a
Im (a + bi) = b
(C,+, ·) es algebraicamente cerrado, es decir, se verifica el teorema fundamental del álgebra (todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en él).
Módulo de un número complejo:
Por definición se llama módulo de a + bi al número real no negativo:
|a + bi| = √(a ² + b ²)
Sabemos que todo número real no negativo tiene una y sólo una raíz real.
Ejercicio:
|z1 +z2| = |a + b.i + c + d.i| = |(a+c) + (b+d)i| ≤ |a| + |c| + |b|i + |d|i = |a + b.i| + |c + d.i| =|z1| + |z2|
|z1z2| = |(a + b.i) (c + d.i)| = |a + b.i| |c + d.i| =|z1| |z2|
|z-1| = |z|-1
|-z| = |z|
La notación para el módulo en C es la misma que la de valor absoluto en R, por la sencilla razón de que: ∀ x ∈ R, |x| = |x + 0i|
El módulo extiende a C el valor absoluto que teníamos en R, se llama argumento del complejo a + bi ≠ 0 al ángulo que forma su a fijo con el semieje positivo de abcisas,medido en el sentido directo.
θ = arccos a/√(a ²+b ²) = arcsen b/√(a ²+b ²)
|a + b.i| = ξ
a + b.i = ξ (cos θ + i sen θ)
Multiplicación de números complejos:
´a + b.i = ξ (cos θ + i sen θ)
´c + d.i = ξ (cos θ ´+ i seno θ ´)
(a+b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (a.d + b.c).i = x. ξ ´[cos θ cos θ ´-sen θ sen θ ´ + i(cos θ.sen θ ´+sen θ.cos θ ´)
El producto del complejo de módulo ξ y argumento θ por el complejo de módulo ξ ´ y argumento θ ´,es el complejo de módulo ξξ´ y argumento θ + θ ´
Luego de lo anterior obtenemos:
ξ (cos θ + i.sen θ)n = ξ .(cos n. θ + i.sen n. θ)
De ahí obtenemos inmediatamente que todo número complejo distinto de 0 tiene exactamente n raíces distintas de orden n.
ξ 1/n(cos θ /n + i sen θ /n)
ξ 1/n(cos (θ +2Π)/n + i sen (θ +2Π)/n)
ξ 1/n(cos (θ +4Π)/n + i sen (θ +4Π)/n)
ξ 1/n(cos (θ +2kΠ)/n + i sen (θ +2kΠ)/n) (K=0, 1, 2,.....) FORMULA De Moivre
Geométricamente:
Para n=5. Pentágono regular de radio ξ 1/n inscrito en una circunferencia.
Nos falta decir que es el conjugado de un número complejo: z= a-bi
Expresión decimal de los números reales:
Suponemos conocida la forma "decimal" (en vez de cómo "quebrado" de enteros) de expresar los números racionales. Y también que una expresión decimal a´ b1b2b3.... es de un número racional si sólo si es periódica.
La expresión decimal periódica del número 3/7 la da el algoritmo de la división:
3/7 = 0´428571........
El periodo puede ser 0, en cuyo caso el número es "exacto". Sin embargo, es fácil razonar que todo número racional exacto (con periodo 0) admite otra expresión equivalente con periodo 9.
38´263 = 38´262999....
Hemos recordado como obtener la expresión decimal de un número racional dado como "quebrado" (par de números enteros)
Recíprocamente sabemos como se obtiene, dada la expresión decimal periódica, el "quebrado" al que representa.
23´97253 = 23 + 97253/99900
Hay una relación entre la fracciones y la expresiones decimales periódicas.
Naturalmente,dado un número real x existe el mayor entero ≤ α,también el mayor racional exacto con una cifra decimal ≤ α,también el mayor racional exacto con dos cifras decimales, etc.
Al primero lo llamamos a, al segundo a´ b1,.......
Así obtenemos en sucesión de Cauchy de números racionales (a, a´ b1, a´ b1b2, a´ b1b2b3,..) que es fácil ver que representa a α,es decir, α = [(a, a´ b1, a´ b1b2, a´ b1b2b3,....)]. La expresión decimal de α es a´ b1b2b3....... y sabemos que es periódica si sólo si α el racional.
Definición: Sea A un conjunto infinito (con infinitos elementos)
Se dice que A es numerable cuando se puede establecer una biyección entre A y el conjunto N de los números naturales.
Ejemplo:
El conjunto P, de los números pares positivos es numerable.
N → P
1
2
3
n 2
4
6
2n
Nótese que cuando se trata de conjuntos finitos es imposible establecer una biyección entre el todo y la parte.
El conjunto Z de los número enteros es numerable
N → Z
0 0
1 1 (n+1)/2 si n impar
2 -1
3 2 n ∈ N
4 -2
5 3 -n/2 si n par
6 -3
El conjunto Q de los números racionales es numerable:
Q
-1/3 -1/2 -1/1
-2/3 -2/2 -2/1
-3/3 -3/2 -3/1 1/1 ½ 1/3
2/1 2/2 2/3
3/1 3/2 3/3
N → Q
0 0
1 1/1
2 2/1 Proceso diagonal de Cantor.
3 -2/1
4 -1/1
5 ½
6 3/2
¿Hay algún conjunto intermedio entre Q y R tal que se pueda establecer una biyección entre Q y él ni entre él y R.
El conjunto R de los números reales no es numerable, es decir, no se puede establecer ninguna aplicación 1 a 1 entre N y R. Bastará ver que ninguna aplicación:
N → R
1
2
3 a1´b11b12b13......
a2´b21b22b23......
a3´b31b32b33......
En el conjunto imagen de esta aplicación no está el número real c´ d1d2d3.... donde: dk = 1 si b kk ≠ 1, dk = 3 si b kk = 1
Tenemos N ⊂Z ⊂Q ⊂R donde N; Z; Q son numerables y R no es numerable
¿Existirá A, Q ⊂A ⊂R tal que no exista biyección entre A y Q ni entre A y R?
Si se supone que si existe tal A no se llega a contradicción.
Si se supone que no existe, tampoco se llega a contradicción.
En otras palabras, es imposible encontrar tal A, es imposible probar que no existe.
Ejercicio:
1.- Ver que la unión finita o numerable de conjuntos numerables es numerable:
Indicación: Si A1, A2,....., son numerables entonces se puede escribir:
A1 = {a11, a12, a13,.......}
A2 = {a21, a22, a23,.......}
A3 = {a31, a32, a33,.......}
....................................
....................................
A1U A2 U ...........= {a11, a12, a21, a13, a22, a31,a14, a23, a32, a41,..........}
Esto es el proceso diagonal:
a11, a12, a13,....... N → A1 U A2 U.......
a21, a22, a23,....... 1 a11
a31, a32, a33,....... 2 a12
3 a21
4 a13
2.- El producto finito de conjuntos numerables es numerable:
Para dos conjuntos:
A = {a1, a2, a3,.........}
B = {b`1, b2, b3,........}
A x B: (a1, b1) (a1, b2) (a1, b3).............
(a2, b1) (a2, b2) (a2, b3).............
(a3, b1) (a3, b2) (a3, b3).............
N → A N → B
1
2
3 a1
a2
a3 1
2
3 b1
b3
b3
N → A x B
1
2
3
4 (a1, b1)
(a1, b2)
(a2, b1)
(a1, b3)
Definición:
Un número real se dice que es algebraico si es raíz de algún polinomio con coeficientes racionales (equivalente enteros).
2/3 x ² - ½ x + 1 ≡ 4x ² - 3x + 6
Ejemplo: Todos los números racionales son algebraicos.
A/b es raíz de x - a/b
También es algebraico todo real de la forma
n√a con n ∈ N y a ∈ Q+ es raíz de x - a
Se puede probar que Π y e no son algebraicos. Los números reales que no son algebraicos se llaman transcendentes (Πy e son transcendentes).
Ejercicio:
3.- Ver que el conjunto A ⊂ R de los números reales algebraicos es numerables.
La demostración se hace teniendo en cuenta lo siguiente:
a) Que Q es numerables
b) Que, como consecuencia de a) y de los ejercicios anteriores, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en Q es numerable.
Que un polinomio de grado n con coeficientes en Q tiene, a lo sumo,n raíces reales.
lunes, 28 de abril de 2008
Números Reales Esquemas
Los números reales
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .
Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .
Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).
NÚMEROS REALES.
El conjunto formado por los números Racionales y los Irracionales, se llama conjunto de los números Reales. Se representa por la letra R
Cuando en una recta se representan los números racionales e irracionales se obtiene la recta real. Cualquier punto de la recta real representa un número real.
Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y numeros enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:
Un número real es racionalsi se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras:
* decimales terminales
* decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.
Propiedades de los Números Reales:
• Conmutativa de adición:
La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.
Por ejemplo:
4 + 2 = 2 + 4
• Conmutativa de multiplicación:
Por ejemplo:
4 . 2 = 2 . 4
• Asociativa de adición:
La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.
Por ejemplo:
(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
• Asociativa de multiplicación:
Por ejemplo:
4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9
• Distributiva de multiplicación sobre adición:
Por ejemplo:
4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9
Reglas de los Signos:
1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + -8 = -3
2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 - 8 = -3
5 - (-8) = 13
3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplo:
5 x 8 = 40
5 x -8 = -40
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .
Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .
Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).
NÚMEROS REALES.
El conjunto formado por los números Racionales y los Irracionales, se llama conjunto de los números Reales. Se representa por la letra R
Cuando en una recta se representan los números racionales e irracionales se obtiene la recta real. Cualquier punto de la recta real representa un número real.
Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y numeros enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:
Un número real es racionalsi se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras:
* decimales terminales
* decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.
Propiedades de los Números Reales:
• Conmutativa de adición:
La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.
Por ejemplo:
4 + 2 = 2 + 4
• Conmutativa de multiplicación:
Por ejemplo:
4 . 2 = 2 . 4
• Asociativa de adición:
La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.
Por ejemplo:
(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
• Asociativa de multiplicación:
Por ejemplo:
4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9
• Distributiva de multiplicación sobre adición:
Por ejemplo:
4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9
Reglas de los Signos:
1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + -8 = -3
2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 - 8 = -3
5 - (-8) = 13
3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplo:
5 x 8 = 40
5 x -8 = -40
domingo, 27 de abril de 2008
tema números reales
Números Reales
Con los números racionales son posibles las operaciones racionales; pero no lo son, en todos los casos, la radicación y la logaritmación. Para hacer posible estas operaciones se hizo necesaria la introducción de una nueva clase de números: los números irracionales, que constituyen, con los números racionales, el conjunto de números reales.
La introducción de los números reales significa una etapa importante en el desarrollo de la matemática, tanto pura como aplicada, por cuanto además de resolver (parcialmente) aquel problema aritmético, esas números permiten:
A) establecer una correspondencia biunivoca entre los números (reales) y los puntos de una recta, correspondencia que no puede establecerse con el conjunto de los números racionales, pues aun cuando existen números racionales tan próximos como se desee, existen siempre sobre la recta puntos que no corresponden a números racionales.
B) Resolver el problema a la medida de las magnitudes lineales (magnitudes cuya cantidad pueden ordenarse de menor a mayor). Tampoco este problema puede ser resuelto teóricamente con los números racionales, aunque prácticamente por ser todas las medidas aproximadas, los números decimales permiten medir aproximadamente todas las cantidades.
Expresiones Decimales: Todo numero irracional puede representarse mediante una extensión decimal de infinitas cifras p.ej.:
ℵ=03,14159665…; e=2,7182818284…
La diferencia esencial con la expresión decimal de los números racionales es
Que en el caso de los irracionales la expresión decimal carece de ley. Si se agrega que los números decimales, y sólo éstos, pueden representarse mediante dos extensiones decimales con infinitas cifras, resulta el teorema general: Todo número real admite, por lo menos, una extensión decimal con infinitas cifras.
Son las primeras cigras de estas expresiones las que se utilizan en la practica cuando se sustituye un número real por su valor decimal aproximado.
EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMIZACIÓN. En el campo de los números reales se definen la igualdad, la desigualdad y las operaciones racionales. Es en este campo donde la potenciación y la logaritmación adquieren interés. En efecto entre los números reales queda definida la potenciación de base positiva y exponente real, operación que da lugar a una de las funciones más importantes de la matemática: la función exponencial con la cual va unido uno de los números más frecuentes en la matemáticas y en sus aplicaciones: el número e.
Con la introducción de la exponencación ya no existen dos operaciones inversas de la potenciación: radicación y logaritmación, como ocurre en el campo de los números racionales. En efecto, si de la expresión ar =b y el exponente r, la determinación de la base a no exige, una nueva operación, sino la misma exponenciación, pues a=b½, es decir, que la base desconocida es la potencia cuya base es la potencia conocida y cuyo exponente es el reciproco del exponente conocido. De ahí que la única operación inversa nueva es la logaritmación, que permite calcular el exponente r cuando se conoce la potencia b y la base a. Ese exponente está dado por r=loga b.
Así como en el campo real la exponenciación sólo tiene sentido para base positiva, la logaritmación sólo es posible cuando la base es positiva y distinta de uno, y el antilogaritmo positivo.
En resumen: en el campo de los números reales siguen sin significado la radicación de índice par y radicado negativi, la exponencial de base negativa, los logaritmos de números negativos, etc.
EXPRESIONES IRRACIONALES. La circunstancia de que la gran mayoría de las raíces de números reales son irracionales, justifica las designaciones de expresión irracional, función irracional, etc, en los casos en que se presentan raíces.
Cuando se tiene una fracción cuyo denominador es una expresión irracional, se puede siempre convertir esa fracción en otra equivalente, pero de denominador racional (es decir, sin raíces). Esta transformación se denomina racionalización de denominadores.
LOS NUMEROS REALES Y EL ALGEBRA. Si se considera que los números negativos no se presentan sistemáticamente hasta el s XVII y que los números irracionales constituyeron desde la antigüedad un grave escollo en el desarrollo de la aritmética, escollo que sólo fue salvado a mediados del s. XIX, se explica que la introducción del número real signifique una etapa muy avanzada de la aritmética, vinculada con los progresos del algebra y hasta del análisis infinitesimal. Esta circunstancia justifica que muchos textos y tratados de números negativos, los irracionales y por supuesto, los números imaginarios, se excluyan de la aritmética y se incluyan en cambio en el álgebra.
Pero concebida la aritmética como ciencia de los números, y éstos como entes abstractos que obedecen a ciertas leyes formales (relaciones y operaciones), no cabe la distinción, sin duda importante desde el punto de vista didáctico, de números positivos y negativos, de números racionales e irracionales, de números reales e imaginarios; mientras que, en cambio, la consideración del número complejo como clase más general de número que estudia la aritmetica, confiere a esta ciencia unidad y armonía.
Fuente: Diccionario Enciclopédico Quillet Tomo 1 Página 442 – 443. Números Reales
Con los números racionales son posibles las operaciones racionales; pero no lo son, en todos los casos, la radicación y la logaritmación. Para hacer posible estas operaciones se hizo necesaria la introducción de una nueva clase de números: los números irracionales, que constituyen, con los números racionales, el conjunto de números reales.
La introducción de los números reales significa una etapa importante en el desarrollo de la matemática, tanto pura como aplicada, por cuanto además de resolver (parcialmente) aquel problema aritmético, esas números permiten:
A) establecer una correspondencia biunivoca entre los números (reales) y los puntos de una recta, correspondencia que no puede establecerse con el conjunto de los números racionales, pues aun cuando existen números racionales tan próximos como se desee, existen siempre sobre la recta puntos que no corresponden a números racionales.
B) Resolver el problema a la medida de las magnitudes lineales (magnitudes cuya cantidad pueden ordenarse de menor a mayor). Tampoco este problema puede ser resuelto teóricamente con los números racionales, aunque prácticamente por ser todas las medidas aproximadas, los números decimales permiten medir aproximadamente todas las cantidades.
Expresiones Decimales: Todo numero irracional puede representarse mediante una extensión decimal de infinitas cifras p.ej.:
ℵ=03,14159665…; e=2,7182818284…
La diferencia esencial con la expresión decimal de los números racionales es
Que en el caso de los irracionales la expresión decimal carece de ley. Si se agrega que los números decimales, y sólo éstos, pueden representarse mediante dos extensiones decimales con infinitas cifras, resulta el teorema general: Todo número real admite, por lo menos, una extensión decimal con infinitas cifras.
Son las primeras cigras de estas expresiones las que se utilizan en la practica cuando se sustituye un número real por su valor decimal aproximado.
EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMIZACIÓN. En el campo de los números reales se definen la igualdad, la desigualdad y las operaciones racionales. Es en este campo donde la potenciación y la logaritmación adquieren interés. En efecto entre los números reales queda definida la potenciación de base positiva y exponente real, operación que da lugar a una de las funciones más importantes de la matemática: la función exponencial con la cual va unido uno de los números más frecuentes en la matemáticas y en sus aplicaciones: el número e.
Con la introducción de la exponencación ya no existen dos operaciones inversas de la potenciación: radicación y logaritmación, como ocurre en el campo de los números racionales. En efecto, si de la expresión ar =b y el exponente r, la determinación de la base a no exige, una nueva operación, sino la misma exponenciación, pues a=b½, es decir, que la base desconocida es la potencia cuya base es la potencia conocida y cuyo exponente es el reciproco del exponente conocido. De ahí que la única operación inversa nueva es la logaritmación, que permite calcular el exponente r cuando se conoce la potencia b y la base a. Ese exponente está dado por r=loga b.
Así como en el campo real la exponenciación sólo tiene sentido para base positiva, la logaritmación sólo es posible cuando la base es positiva y distinta de uno, y el antilogaritmo positivo.
En resumen: en el campo de los números reales siguen sin significado la radicación de índice par y radicado negativi, la exponencial de base negativa, los logaritmos de números negativos, etc.
EXPRESIONES IRRACIONALES. La circunstancia de que la gran mayoría de las raíces de números reales son irracionales, justifica las designaciones de expresión irracional, función irracional, etc, en los casos en que se presentan raíces.
Cuando se tiene una fracción cuyo denominador es una expresión irracional, se puede siempre convertir esa fracción en otra equivalente, pero de denominador racional (es decir, sin raíces). Esta transformación se denomina racionalización de denominadores.
LOS NUMEROS REALES Y EL ALGEBRA. Si se considera que los números negativos no se presentan sistemáticamente hasta el s XVII y que los números irracionales constituyeron desde la antigüedad un grave escollo en el desarrollo de la aritmética, escollo que sólo fue salvado a mediados del s. XIX, se explica que la introducción del número real signifique una etapa muy avanzada de la aritmética, vinculada con los progresos del algebra y hasta del análisis infinitesimal. Esta circunstancia justifica que muchos textos y tratados de números negativos, los irracionales y por supuesto, los números imaginarios, se excluyan de la aritmética y se incluyan en cambio en el álgebra.
Pero concebida la aritmética como ciencia de los números, y éstos como entes abstractos que obedecen a ciertas leyes formales (relaciones y operaciones), no cabe la distinción, sin duda importante desde el punto de vista didáctico, de números positivos y negativos, de números racionales e irracionales, de números reales e imaginarios; mientras que, en cambio, la consideración del número complejo como clase más general de número que estudia la aritmetica, confiere a esta ciencia unidad y armonía.
Fuente: Diccionario Enciclopédico Quillet Tomo 1 Página 442 – 443. Números Reales
sábado, 19 de abril de 2008
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